２変数関数の極限

質問

(1) lim((x,y)→0) tan(x^5 + y^6) / (x^4 + y^4)

変形して行くと
1/(cos(x^5+y^6)) * (sin(x^5+y^6))/(x^5+y^6) * (x^5+y^6)/(x^4 + y^4)
と３つの部分に分ける事が出来て、１つ目と２つ目は１に収束する事は分かるのですが、
３つ目の部分は分子の方が高次だから早く０になりそうだと予想はつくのですが
数学的な説明方が分かりません。

(2) lim((x,y)→0) (1 + x^2 y^2)^(1/(x^2+y^2))

べき乗の数（右肩の数）が０に向かうので、べき乗される数が発散しなければ１になりそうで、
しかもべき乗される数も１に向かってるので答えは１かなと言う予想はしているのですが、
それをどう数学的に説明すればいいのか分かりません。

以上２問、よろしくお願いします。

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．
(1)の方，数字を見間違えていて，ちょっと間違えました．
問題の因子の分子は x^5 + y^6 でしたね．
なんとなくべきが同じような気がしていました．
copy & paste やったので，回答のべきはちゃんとなっていますが．

ついでに
(c)　　|y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0
と訂正してください(後述)

(a)の場合
分母分子を x^4 で割って
分子 = x + (y/x)^6 x^2 → 0
分母 = 1 + (y/x)^4 → 1
結局 → 0

(b)の場合
分母分子を y^4 で割って
分子 = (x/y)^4 x + y^2 → 0
分母 = 1 + (x/y)^4 → 1
結局 → 0

(c)の場合
分子 ～ x^5
分母 = (1+a^4)x^4
で，結局 → 0

-----------------

> x = t(t+1)、y = t， t→0

これは，x と y が同じ速さでゼロに近づくから問題はありません．
t→0 のとき x～t とみてよいわけです．

> x = 1/θ cosθ, y = 1/θ sinθ, θ→∞

これは，同じ速さでゼロに近づくけれど，y の方は振動しながらゼロに近づくところが
ポイントですね．
私の(a)(b)(c)の分類は絶対値をつけてやるべきでしたかね．
絶対値をつけておけば，x,y のゼロへの近づき方は明らかにこの３パターンで
全部尽くされます．
問題の式の形によっては，分類の仕方が異なることは当然あります．
そういうときも，全部尽くすような分類にすればＯＫですね．

-----------------

rabbie さんのように
x=r cosθ, y=r sinθ,
としてしまうと，y/x = tanθ ですから，
x と y を同じ速さでゼロに近づける場合に話が限られてしまいます．
例えば，x と y^2 を同じ速さでゼロに近づけるような場合は含まれないことに
なります．

補足

> 絶対値をつけておけば，x,y のゼロへの近づき方は明らかにこの３パターンで
> 全部尽くされます．

そうですか？

> x = 1/θ cosθ, y = 1/θ sinθ, θ→∞

の時はy/x = tanθ, y/x = 1/tanθで、

(a)　　|y/x| → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　|x/y| → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　|y/x| → a (ゼロでない正定数) としながら x,y → 0

に当たらないと思うんですけど。というか当たらないものを考えてみたのがあの２つだったんですが、

> x = t(t+1)、y = t， t→0

はx/y→1で(c)に該当でしたね。甘いな、taropoo。

> 問題の式の形によっては，分類の仕方が異なることは当然あります．
> そういうときも，全部尽くすような分類にすればＯＫですね．

これはどうやったら分かるんですか？勉強ですかね。

回答No.6

siegmund

siegmund です．

rabbie さん：
> x=r cosθ, y=r sinθ, として、 θ は任意、r -> +0 とすると...

は，θも r -> +0 と同時に変化させるという意味ですか．
それなら了解しました．
私が文意を誤解したようです．失礼しました．

お礼

長くなりましたのと、興味の的が始めより深くなりましたので、
q=93778として別質問の形を取らさせていただきました。

ここまでお付き合い下さりありがとうございました。

引き続きq=93778でお付き合い願える事を心より期待しております。

補足

あの～

>> 問題の式の形によっては，分類の仕方が異なることは当然あります．
>> そういうときも，全部尽くすような分類にすればＯＫですね．
>
> これはどうやったら分かるんですか？勉強ですかね。

この話はどうなったんですかねー？期待大でお待ちしておるんですが。

回答No.5

rabbie

rabbie です。一応自分でやってみました。

途中 sin^5θ 等は (sinθ)^5 のことです。
(1)
x=r cosθ, y=r sinθ, r>0, 0<=θ<2πとすると x, y -> 0 のとき r -> 0 で、
|(x^5+y^6)/(x^4 + y^4)|
= r^5|cos^5θ + r sin^6θ|/r^4(cos^4θ+sin^4θ)
<= r(|cosθ|^5+r|sinθ|^6)/(cos^4θ+sin^4θ)
<= r(cos^4θ+sin^4θ)/(cos^4θ+sin^4θ)
= r -> 0
途中 r, |sinθ|, |cosθ| <= 1, |a+b| <= |a| + |b| を利用。

(2)
まず、
(1+x^2y^2)^(1/x^2+y^2) >= 1 は自明。
上と同様に x=r cosθ, y=r sinθ,とすると、
(1+x^2y^2)^(1/(x^2+y^2))
= (1+r^4 cos^2θ sin^2θ)^(1/r^2)
<= (1+r^4)^(1/r^2)
= {(1+r^4)^(1/r^4)}^(r^2)
最後の式で、{} 内 -> e, r^2 -> 0 なので 全体 -> 1. （必要なら対数をとれば示せます。）

回答No.4

rabbie

rabbie です。

＞rabbie さんのように
＞x=r cosθ, y=r sinθ,
＞としてしまうと，y/x = tanθ ですから，
＞x と y を同じ速さでゼロに近づける場合に話が限られてしまいます．
＞例えば，x と y^2 を同じ速さでゼロに近づけるような場合は含まれないことに
＞なります．

そうではありません。θは定数ではなくて、変数なので、どんな動きかたをすることも出来ます。
x と y^2 を同じ速さでゼロに近づけるような場合はそのようにrとθを変化させればいいまでです。

回答No.2

rabbie

(1)の３つ目の部分
x=r cosθ, y=r sinθ, として、 θ は任意、r -> +0 とすると、割と簡単に解けると思いますよ。ヒントは、絶対値->0 を示すのと、r, |cosθ|, |sinθ| <= 1 を利用する事です。

自分では実際に解いてないので間違っていたらすいません。

回答No.1

siegmund

x,y → 0 のときの，x,y の関係が指定されていませんので，
それに関係なく共通の極限値を持つときにのみ極限値が存在します．

つまり，
(a)　　y/x → 0 としながら，x,y → 0
(b)　　x/y → 0 としながら，x,y → 0
(c)　　y/x → a (ゼロでない定数) としながら x,y → 0
の３つの場合があります．

(1)の３番目の因子は，
(a)なら (x^5)/(x^4) とみなせて → 0
(b)なら (y^6)/(y^4) とみなせて → 0
(c)なら (ax^)6/{(1+a^4)x^4} とみなせて → 0
結局，極限値は存在して，予想どおりゼロです．

(2)は対数をとれば，
{1/(x^2 + y^2)} log(1 + x^2 y^2)
= {1/(x^2 + y^2)} {x^2 y^2 + (x^2 y^2 の高次項)}
です．
(a)なら最初の{}は 1/x^2 と同じことですから，→ 0
(b)は(a)と x,y を入れ換えただけで，→ 0
(c)なら，{1/(1 + a^2) x^2} a^2 x^4 と同じことで，→ 0
になります．
対数がゼロになるから，もとは → 1 ですね．

本当はもっときちんとやらないといけないのかも知れませんが...

なお，
x^2 / (x^2 + y^2)
などですと，(a)(b)(c)によって極限値が異なります．
(a)なら → 1
(b)なら → 0
(c)なら → 1/(1 + a^2)
です．

補足

この２問については(a)(b)(c)でのやり方で極限が一致していますが、
x,y→0の近付き方ってこの３種類だけじゃないですよね。
例えばx = 1/θ cosθ, y = 1/θ sinθ, θ→∞ってのもx,y→0の方法の１種ですし、x = t(t+1)、y = t、t→0だってそうですよね。
考えれば無限にあると思うんです。
とすると
> x,y → 0 のときの，x,y の関係が指定されていませんので，
> それに関係なく共通の極限値を持つときにのみ極限値が存在します．
の極限値が存在するかどうかを判定する方法ってあるんですか？
仮に(a)(b)(c)の極限値が一致すればいかなる方法で近付いても極限が存在するとかでしたら、その証明を載せていただけると。。。

いつもお世話になります。m(-_-)m