展開の順序を工夫する問題

質問

こんにちは。

展開の順序を工夫して解く問題の一つが分からないので
教えて下さい。

(x＾2+x+1)(x＾2-x+1)(x＾2+x-1)(x＾2-x-1)

という問題です。

x＾2+x=A、x＾2-x=B と置くのかなあ？と思ったんですが、
それでもややこしいので違うのかなと思いました。

ひたすら掛けていけば、答えは出るんでしょうが
工夫して解けということなので、悩んでいます。

解き方が分かる方、教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

mnakauye · ベストアンサー

こんにちは。

　式を良く見ますと、2次と定数が、 x^2+1 と x^2-1　ですね。

　　そこで、x^2+1=A, x^2-1 =B とおけば、

　　予式　＝　(A+x)(A-x)(B+x)(B-x) ですから、　(a+b)(a-b)　の展開公式が使えます。

　　　　　　＝ (A^2-x^2)(B^2-x^2)

　　　A,B 元に戻して

＝　（x＾4+x^2+1）（x^4-3x^2+1) x^4+1 を　C, x^2 をDとおくと

　　　　　　＝　（C+D)(C-3D)　＝C^2-2CD-３D^2

　　　C,D　元に戻して

　　　　　　＝　(x^4+1)^2-2(x^4+1)x^2-3x^4

＝　x^8+2x^4+1 - 2x^6-2x^2-3x^4

＝　x^8　-2x^6 -x^4 -2x^2 +1

　　となります。

　　字数の高いものと低いものを組み合わせて、次数が上がらないように工夫するのがポイントですかね。

お礼

こんばんは。
丁寧に解説して下さってありがとうございます。
xばかりに気をとられていたいました。
これからは、次数を上げないように注意しながら問題を見ていきたいと思います。
ありがとうございました！

回答No.1

USB99

与式＝Ｘ^４・Aとして

A=((Ｘ + １/Ｘ)^2 - １)((Ｘ- １/Ｘ)^2 - １)
=(Ｘ + １/Ｘ)^2・(Ｘ - １/Ｘ)^2 - (Ｘ + １/Ｘ)^2 - (Ｘ - １/Ｘ)^2 + １
=(Ｘ^2 - １/Ｘ^2)^2 - ２・Ｘ^2 - 2・１/Ｘ^2 + １
=Ｘ^4 - ２ + １/Ｘ^4 - ２・Ｘ^2 - ２・１/Ｘ^2 + １
=Ｘ^4 - ２・Ｘ^2 - １ - ２・１/Ｘ^2 + １/Ｘ^4

よって、与式＝Ｘ^4 - ２・Ｘ^6 - ２・Ｘ^2 + １

お礼

こんばんは。
回答ありがとうございます。
紙に書き写してみたんですが、まだ私にはよく分かりませんでした。
勉強が進んだら分かるかもしれません。
ありがとうございました！