分数式の減法についての問題

質問

解き方を見ても、どうしてそうなるのかわからない問題があったので質問します。
※二乗の表し方がわからないのでyの二乗をy【2】として書かせていただきます。

(x【2】+4x+5)/(x+3)-(x【2】+5x+6)/(x+4)
という問題でそのまま計算すると次数が高くなり計算が大変だから、
分子を変形(分子を分母で割り余りを足す)する、というやりかたのようなのですが・・・

{(x+3)(x+1)+2}/(x+3)-{(x+4)(x+1)+2}/(x+4)

になり(ここまではわかります)、次は

{x+1+(2/x+3)}-{x+1+(2/x+4)}

となるようなのですが・・・

これは分子一つ一つの項を分母で割っていると私は考えるのですがそれであっていますでしょうか？
しかし、やってみたところ(2/x+3)または(2/x+4)と、1は出てきたのですが、xがどうしても出てきません。
どうすれば　{(x+3)(x+1)+2}/(x+3)　を　{x+1+(2/x+3)}　にすることができるのでしょうか。
やり方が間違っているのでしょうか。

解答の程よろしくお願いします。

回答No.2

noname#64630 · ベストアンサー

おはようございます。

「どうすれば　{(x+3)(x+1)+2}/(x+3)　を　{x+1+(2/x+3)}　にすることができるのでしょうか」
ということですが，若干違うアプローチで説明いたします。
たとえば，(a+b)/c は a/c+b/c のように2つの項に分けられます。
同様の考えで {(x+3)(x+1)+2}/(x+3) を2つの項に分けると，
(x+3)(x+1)/(x+3)+2/(x+3) となります。
そうすると初めの項 (x+3)(x+1)/(x+3) は分母分子に (x+3) を持ちます。
だから約分して (x+1) となります。

ちなみに，ご質問にあったように，分子一つ一つの項を分母で割っても解答できます。
その場合は (x+3)(x+1) を (x+3) で割ることになるのでやはり (x+1) が出てきます。

回答No.1

noname#75273

たぶん、考え方としては間違っていないと思います

{(x+3)(x+1)+2}/(x+3)-{(x+4)(x+1)+2}/(x+4)

=(x+3)(x+1)/(x+3) + 2/(x+3) - (x+4)(x+1)/(x+4) - 2/(x+4)

=(x + 1) + 2/(x+3) - (x + 1) - 2/(x+4)

文字式で表すと

(AB + C)/B = AB/B + C/B = A + C/B　　（通分の逆を計算しているイメージでしょうか）