次数について

質問

多項式Ｆ(x)で、Ｆ(x)は定数でなく、
次のｘについての恒等式を満たすとき、
xF(x^2-1)-5F(x)＝(x^3+1)F(x-1)-2(x-1)F(x+1)-4x-29
で、

f(x)の次数をＮとおくと、
左辺の次数は、xF(x^2-1)の次数と同じで、２Ｎ＋１。
右辺の次数は、(x^3+1)F(x-1)の次数と同じで、Ｎ＋３。
と、学校で解説されましたが、

なぜ２Ｎ＋１なのか、Ｎ＋３なのか？
何を言っているのか全く理解不能です。

どうしてそうなるのかお教え下さい。

回答No.1

marth · ベストアンサー

単純に言えば、
・左辺はF(x)のxに２次の式を代入した上で、１次の式（x）を掛けているから、
・右辺はF(x)に３次の式を掛けているから
です。

具体的に見てみましょう。
ここでは、仮にF(x)=x^3 -1とし、左辺、右辺も簡略化します。
左辺モデル：xF(x^2 -1) = x {(x^2-1)^3 -1}
右辺モデル：(x^3 +1)F(x-1) = (x^3 +1){(x -1)^3-1}
F(x)と左辺、右辺をそれぞれ展開すると何時の式になるでしょうか？

そんなには難しい話ではないので、実例を出して計算するのが理解の早道かと思われます。
（暗記するのは簡単ですけどね。）

お礼

よくわかりました。
有り難うございました。m(_ _)m

回答No.4

yumisamisiidesu

回答については前の方々でいいと思うので
個々で、少し一般的に理解したいと思います

　R:整域,f,g∈R[X]とすると
1. deg(f+g)=max(deg(f),deg(g))
2. deg(fg)=deg(f)+deg(g)
3. deg(f゜g)=deg(f)*deg(g)
この3.も覚えておいた方がいいと思います

* deg(f)とは多項式の次数です
　f゜gはfとgの合成というかfを具体的に表したときに
　それのXの所にgを代入してできる多項式

回答No.3

tan816

たぶんNo.1さんのアドバイスでわかると思いますが、
fとFの意味がわかれば簡単にできると思います。

次数というのは「～乗」のことですよね。
次数２は２乗、次数３は３乗ですね。

f(x)の次数をＮとする。
次数Ｎということで、最高次数はｘのＮ乗ということですよね。

ここで左辺のF(x^2-1)を見ます。
ここで出てくるｘはf(x)の式と解釈します。

つまり、ｘのＮ乗が最高次数の式全体をＦの中でのｘに見立てます。

そうなると、ｘのＮ乗の２乗となるので、Ｆは２Ｎ乗の式になりますね。

んで、元を見るとｘが前に掛かっていますから、これは正確にはｘの1乗ですよね。
だから、２Ｎと１を足して、２Ｎ+１乗の式になります。

Ｎ+３も同じようにやってみてください。

回答No.2

tan816

たぶんNo.1さんのアドバイスでわかると思いますが、
fとFの意味がわかれば簡単にできると思います。

次数というのは「～乗」のことですよね。
次数２は２乗、次数３は３乗ですね。

f(x)の次数をＮとする。
次数Ｎということで、最高次数はｘのＮ乗ということですよね。

ここで左辺のF(x^2-1)を見ます。
ここで出てくるｘはf(x)の式と解釈します。

つまり、ｘのＮ乗が最高次数の式全体をＦの中でのｘに見立てます。

そうなると、ｘのＮ乗の２乗となるので、Ｆは２Ｎ乗の式になりますね。

んで、元を見るとｘが前に掛かっていますから、２Ｎ+１乗の式になります。

Ｎ+３も同じようにやってみてください。