「十分に滑らか」というのは何回でも微分可能、と解釈して良いんでしょう。n階偏導関数がみんなバラバラになると仮定しなくては無理じゃないでしょうか？もしn階偏微分で0になっちゃうやつがぞろぞろあると数えられない。n次までの多項式では表せないという位の条件で良いのかな？
偏導関数て位だから、きっと(n+1)個の変数が独立あると仮定しちゃって良いのでしょう。変数をx[j] (j=0,1,2,....,n)として、微分が交換可能：
(∂/∂x[j])(∂/∂x[k]) = (∂/∂x[k])(∂/∂x[j])
という条件で良いんでしょうか。n階偏導関数てのは
g(k[0],k[1],....,k[n]) =（Π(∂/∂x[j])^k[j]）f(x[0],x[1],....,x[n]) (Πはj=0,1,....,n)
Σk[j] = n, k[j]≧0 (Σはj=0,1,....,n)
ということかな？
だとすれば、
つまり、自然数をN={0,1,2,...} とするとき、nを(n+1)個の自然数の和で表す方法は何通りあるか。
= nを(n+1)個の自然数に分ける方法は何通りあるか。
=(n+1)人でn個のビー玉を分ける方法は何通りあるか。
お礼
お礼が送れて大変申し訳ありません。 この問題は説明していただいた考え方に還元できるってことですね。 そうすれば『(n+1)人でn個のビー玉を分ける方法は何通りあるか』 ⇔ n+1Ｈn＝2nＣn＝（2n)!/n!n!になるんですね。 どうもありがとうございました。