∫logsinxdx(0～π/2)の広義積分について。

質問

0≦x≦(π/2)に対しての不等式
x≦(π/2)sinx
が成立することを認め、以下の問いに答えよ。

(1)広義積分I=∫logsinxdx(0～π/2)が存在することを証明せよ。
(2)0<t<(π/2)に対してI(t)=∫logsinxdx(t～π/2)とおくとき、変数変換をした後にlim<t→+0>I(t)を計算することで等式I=∫logsinxdx(π/2～π)=∫logcosxdx(0～π/2)が成り立つことを示せ。
(3)2I=∫logsinxdx(0～π)に注意してx=2uと変数変換することで、I=-(π/2)log2を示せ。

以上の問題が試験で出題されたのですが、全くわかりません。
ヒントでもいいので、どなたか解法をお願いします。
∫関数()の()内は積分範囲です。
よろしくお願いいたします。

回答No.1

handarin · ベストアンサー

(1)ヒントの不等式より(2/π)x≦sinx≦xなので
log((2/π)x)≦log(sinx)≦logx
この両辺に∫[0,π/2]を施せばＯＫ。左辺、右辺の積分が存在して
さらに中辺は連続関数なので積分は存在する。
lim[x→0]xlogx＝0に注意
(2)最初の等号=はx=u+π/2と座標変換
二つ目はsinx=cos(π/2-x)に注意してx=π/2-sで座標変換
(3)言われたまま座標変換で計算します。加法定理と(2)の結果を用いれば結果は見えるはず。

お礼

丁寧な解法、ありがとうございました。
お陰様で、(1)は解けました。

(2)、(3)がわからないのですが、もしよろしければ解答をお願いできますか。

すみません、出来ればで構いませんのでよろしくお願いします。

回答No.2

handarin

すみません(2)の前半がちょっと違ってました。
∫[0,π/2]log(sinx)dx=∫[π/2,π]log(sinx)dx
は、左辺をx=π-uと座標変換すると示せます。
dx=-duでx:0→π/2のときu：π→π/2なので
sin(π-u)=sin(u)に注意して、積分区間を反転すれば
I=∫[π,π/2]-log(sin(π-u))du=∫[π/2,π]log(sin(u))du
となります。
後半の計算もほとんど同様です。
(3)x=2uのときdx=2du,u：0→π/2なので
2I=∫[0,π]logsinxdx=∫[0,π]2logsin(2u)du
=2∫[0,π/2]log(2sin(u)cox(u))du
=2∫[0,π/2]log(2)+log(sin(u))+log(cox(u))du
=2((π/2)log(2)+I+I)