【ルベーグ積分入門】の質問

質問

http://app.m-cocolog.jp/t/typecast/252247/211853/68319463

の一番したの、　
m(E)≦m(Fc)+ε/2≦Σm(Gn) (n=1,・・・n0)+ε/2≦Σm(Gn) (n=1,・・・∞)+ε/2 (∵m(Gn)≧0)
≦Σm(In) (n=1,・・・∞)+Σε/2^(n+1) (n=1,・・・∞)+ε/2＝Σm(In) (n=1,・・・∞)+ε

　εは任意の正数だったので、m(E)≦Σm(In)

のところがなぜなのかわかりません。

m(E)≦Σm(In)+εが導けても、
これから
m(E)≦Σm(In)はなぜいえるんでしょうか。

もしm(E)=Σm(In)+εなら、正しくないですよね。
それとも、等号が成り立つのは、∞のときだけなんでしょうか。
ヒントでも良いので教えてください。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

もし
m(E)>Σm(In)
ならば
ε={m(E)-Σm(In)}/2
とすると
ε={m(E)-Σm(In)}/2>0
でεは任意だからこのε>0に対しても
m(E)≦Σm(In)+ε=Σm(In)+{m(E)-Σm(In)}/2
だから
m(E)/2≦Σm(In)/2
m(E)≦Σm(In)
となってm(E)>Σm(In)に矛盾するから
∴
m(E)≦Σm(In)

お礼

回答ありがとうございます。