確率の問題がわからない

質問

この問いの二番以降がわかりません。
漸化式と数学的帰納法を使えばいいと思うのですが一向に答えが証明できません。
なにか良い方法があるのでしょうか？

回答No.3

MagicianKuma · ベストアンサー

帰納法は以外に難しいかも。なので、使わない方法を。以下の説明で組み合わせの計算の nCk を C(n,k)と書きます。(ネット上で書きやすいために)
まず、n回振って、奇数がk回出る確率をPn(k)とすると、Pn(k)=C(n,k) / 2^n です。　これを踏まえて。
[問題２] 2m-1回振ったとき全ての電球が消えている確率は奇数がm回以上出る事と同じなので、Σ[k=m～2m-1] C(2m-1,k) / 2^(2m-1) を計算すれば良い。ここでいくつかの公式を使います。
Σ[k=0～n]C(n,k) = 2^n ------- (1)
C(n,k)=C(n,n-k) ------------------(2)
で、n=2m-1のとき、Σ[k=0～2m-1]C(2m-1,k)=Σ[k=0～m-1]C(2m-1,k)+Σ[k=m～2m-1]C(2m-1,k)　と前半m個の和と後半m個の和に分解できます。(2)を踏まえれば、前半の和と後半の和が等しい事が言えます。 なので、Σ[k=m～2m-1]C(2m-1,k)=1/2 * 2^(2m-1)となります。確率に戻れば、Σ[k=m～2m-1]C(2m-1,k)/2^(2m-1)＝1/2*2^(2m-1)/2^(2m-1) = 1/2

[問題3] は　Σ[k=奇数]C(n,k)=Σ[k=偶数]C(n,k)を使えば簡単です。 この式は(1-1)^n=0に二項定理を使えばでてきます。

回答No.2

B-juggler

おそらく連投。

（３）のときも、漸化式必要？

（１／２）じゃないの？　これも帰納法で証明できそうだけど。ちょっと面倒なだけで。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

回答No.1

B-juggler

ぱっと見、（２）は帰納法だけでいけるはずだよ？

ｍ＝２　のとき　サイコロ３回投げるのだから、○を奇数、×を偶数とすると、

○○○　　ＯＫ
○○×　　ＯＫ
○×○　　ＯＫ
○××　　ＮＯ
×○○　　ＯＫ
×○×　　ＮＯ
××○　　ＮＯ
×××　　ＮＯ

（４／８）＝（１／２）だね。

５０％でしかないから、○×が一個増えるだけ。帰納法でいけるはずだよ。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)