92[A]数列

質問

漸化式{a(n+1)=a(n)+a(n-1)(n=2,3,4,・・・),a(1)=1,a(2)=1
とする。このとき、次の問いに答えよ。
(1){a(n)}の第1項から第9項までを書け。
(2)自然数n(n≧2)に対して{a(1)}^2+{a(2)}^2+・・・+{a(n)}^2=a(n)a(n+1)が成り立つことを数学的帰納法を用いて示せ。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

（１）は解けたでしょうけど，念のため。
a(1)=1,a(2)=1
a(3)=a(2)+a(1)=1+1=2 (漸化式にn=2を代入）
a(4)=a(3)+a(2)=2+1=3 (漸化式にn=3を代入）
以下同様に続けて
a(5)=3+2=5
a(6)=5+3=8
a(7)=5+8=13
a(8)=8+13=21
a(9)=13+21=34

（２）
「自然数n(n≧2)に対して」とあるので，第1段ではn=2の場合を調べます。

〔第１段〕
n=2のとき
左辺={a(1)}^2+{a(2)}^2=1^2+1^2=2
右辺=a(2)*a(3)=1*2=2
よってn=1の時は等式は成り立つ。

〔第２段〕
n=kのときに等式が成り立つと仮定すると
{a(1)}^2+{a(2)}^2+……+{a(k)}^2=a(k)a(k+1)
この両辺に{a(k+1)}^2を加えると
{a(1)}^2+{a(2)}^2+……+{a(k)}^2+{a(k+1)}^2=a(k)a(k+1)+{a(k+1)}^2 ……①

（ここで左辺を『証明すべき式の右辺にn=k+1を代入した式ができるまで』変形していきます。これが重要なポイントです）

ここで
右辺=a(k)a(k+1)+{a(k+1)}^2
=a(k+1){a(k)+a(k+1)}　（a(k+1)を共通因数として出しただけ）
=a(k+1){a(k+1)+a(k)}
ここで漸化式(前２項の和が次の項ですね)より
a(k+1)+a(k)=a(k+2)
だから
右辺=a(k+1)a(k+2)
よって①は
{a(1)}^2+{a(2)}^2+……+{a(k)}^2+{a(k+1)}^2=a(k+1)a(k+2)
となります。これは証明すべき等式にn=k+1を代入した等式です。つまりn=k+1のときも成り立つことを示しています。
ゆえにn=kの時に成り立つと仮定するとn=k+1のときも成り立ちます。

〔第１段〕〔第２段〕で示したことから，全ての自然数n(n≧2)に対して等式が成り立つことが証明されました。

※【厳重注意】　数学的帰納法による証明をよく犯す間違いは
n=k+1のときも成り立つことを証明するのに，n=k+1を代入してしまう間違いです。この回答で示したように両辺に何かを加えたり掛けたり……を考えてください。

お礼

ありがとうございました。