0.333…と1/3

質問

学校ではこの二つは等しいものとして教えられます。
しかし、調べてみると、これは実無限の立場に立つ人々が主張することであり、数学界全体で共有されている知識ではないということが分かりました。
私としては、たとえば、小数点以下に3をn個並べた有限の数を0.33…3(n)とするなら、1/3と0.33…3(n)の差はnが1増えるごとに、1/10ずつ減っていきますから、その差はどんどん小さくなってはいくものの、決して０にはならないと思います。
1/3に限りなく近づいてはいけるが、決して1/3そのものにはなれない。
それが真実だと思います。
しかし、実無限の立場に立つ人々は、この差がいずれ０になると思っているのでしょうか？
そして、もしそうなら、その考えを正当化できるだけの何かを彼らはもっているのでしょうか？それとも、ただの信仰に過ぎないのでしょうか？

回答No.8

alice_44

＞ あ、ちなみに、私の考えでは、当然、0.333… は数ではありません。

それなら、当然、0.333… = 1/3 にはなりませんね。1/3 は数ですから。
差を計算するまでもない、そこで話はオシマイ。
ちなみに、私の考えでは、トマトは数ではないので、トマト = 1/3 ではありません。
私は、実トマトの存在を認めているけれど。(今朝も食べました。)

通常、数学の話をするときには、0.333… を Σ[k=1→∞]3/10^k の略記と考えるので、
0.333… = 1/3 です。同じ「0.333…」と書いても、違うものの話をしているのでは、
結論が一致する訳はありません。

＞ 1/3 に限りなく近づいてはいけるが、決して 1/3 そのものにはなれない。
＞ それが真実だと思います。

1/3 に限りなく近づいてはいけるが決して 1/3 そのものにはなれないものは、
Σ[k=1→n]3/10^k です。n に自然数を代入する限りは、どんなに大きい n をとっても
Σ[k=1→n]3/10^k < 1/3 となります。

Σ[k=1→∞]3/10^k は、Σ[k=1→n]3/10^k の n に ∞ を代入したものではありません。
Σ[k=1→∞]3/10^k = lim[n→∞]Σ[k=1→n]3/10^k という意味です。
lim[n→∞] の定義は、教科書を確認のこと。
Σ[k=1→∞]3/10^k と Σ[k=1→n]3/10^k は、別のものです。

＞ その差はどんどん小さくなってはいくものの、決して０にはならないと思います。

「任意の正数 ε について 0≦x＜ε ならば、x=0 である」
これは、アルキメデスの公理
「任意の正数 a と b に対して、na＞b となる自然数 n がある」から導けます。
b=1, 1/n=ε と置けば、
「任意の正数 a に対して、a＞ε となる正数 ε がある」ことになり、
その対偶は、「任意の正数 ε について a≦ε ならば、a は正数ではない」です。
0≦x＜ε のとき x≦ε は成立していますから、
「任意の正数 ε について 0≦x＜ε」ならば、x は正数ではない。
かつ 0≦x であれば、x=0 です。

「実数」を非アルキメデス的なものとして再定義するのは自由で、
超準解析ではそうしていますが、その場合も、非アルキメデスに拡張したものは
「超実数」と呼んで、世間で実数と呼ぶものとは別であることを意識して扱います。
貴方が、どんな素晴らしい数体系を提案して、その上で数学を展開しようとも、
他人が「実数」と呼んでいるものが、最小のアルキメデス的完備順序体であることに
変わりはありません。貴方の「実数」には、何か他の名前が必要でしょう。

＞ そもそも私は無限小数なんて数自体を認めていません。

それは、さぞ不便なことでしょう。
実数の存在はともかく、有理数同士の割り算すら不可能だと、
ほとんど何の計算もできなくなるのではないかと思います。
いや、自然数同士の足し算ができましたかね。

お礼

ありがとうございます。

＞それなら、当然、0.333… = 1/3 にはなりませんね。1/3 は数ですから。
差を計算するまでもない、そこで話はオシマイ。

そう、そこで話はオシマイです。
はっきり言って、私にとっては議論するほどのことですらない。
しかし、実無限派の人は、完結した無限を考えて、0.333…を数と認めるわけですよね？
私が聞きたいのは、どう定義するかというような表面的な話ではなく、哲学的な話です。
実無限派の人は完結した無限を考えているが、それを支持するだけの何かをもっているのか、という質問です。
こういう質問をすると、大抵、表面的な数学論になってしまうのですが、私が求めている回答は哲学です。何かを前提としたうえで、論理規則に従って機械的に計算していくとほらこうなるよね、というつまらない数学論ではありません。
ああ、数学カテに質問したこと自体が間違いだったかもしれませんね。
哲学カテに質問し直そうかと思います。
今思えば私は数学をしたいのではく、哲学をしたいのですから。
かの高名な哲学者ウィトゲンシュタインも「無限は実在しない」と断言しています。
やっぱこういう話は哲学者とじゃないとかみ合わないかもしれませんね。
どうも問題意識がまったく共有されていない気がしました。
天才数学者オイラーも含め、数学者って数学は得意でも哲学は苦手な人が多いですからね。

回答No.7

ORUKA1951

.
0.3 = 1/3
0.(3) = 1/3

これは有名な話で、色々な形で証明されています。
そもそも、循環小数/無限小数
とは何かに関わってきます。
　12進数とか3進数で示した1と十進数で示した1は同じ数を示しますが、12進数や3進数はきれいに割り切れます。
　よく知られた説明は、3×1/3でこれは、分数の定義から必ず1になります。1/3 = 0.(3)と表すと決めたなら、必然的に、3×0.(3) = 1でなければならないので。

　詳しい証明などは、Wikiにふらさせていただきます。
　⇒0.999... - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/0.999... )
　『これは寸分違わずちょうど 1 に等しい。つまり、"0.999..." と"1" という別の文字列は同じ数に対応する。この証明は、どの程度数学的に厳密であるかということまで含めて、複数の方法で説明することができる。』
　⇒循環小数 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AA%E7%92%B0%E5%B0%8F%E6%95%B0 )

お礼

ありがとうございます。
ご存知だと思いますが、証明は、何を前提とするかで結論が違ってきます。
0.(9)= 1は、0.(3) = 1/3を前提としています。
しかし、今は、その前提0.(3) = 1/3自体に疑問符を付けているわけです。

回答No.6

mojitto

そもそもにして
0.(3) = 1/3
ですが、
0.33…3(n) = 1/3
は素人が見ても違いますよ。

両辺を３倍にしたら前者は１ですが、後者は明らかに１ではありません。
つまりイコールで結んでいること自体、おかしいでしょ。

これを同じモノとして議論すること自体がそもそもおかしいのでは…
（無限小数を有限の数と仰っていること自体が間違い）

補足

＞つまりイコールで結んでいること自体、おかしいでしょ。

えっと、いつ結びましたか？
結んだ記憶がありませんが。

＞両辺を３倍にしたら前者は１ですが、

ですから、その理由を聞いています。
1/3を3倍したら1になりますが、なぜ0.(3)を 3倍すると１そのものになるのでしょうか？

＞無限小数を有限の数と仰っていること自体が間違い

言ってませんが。
そもそも私は無限小数なんて数自体を認めていません。

回答No.5

kamobedanjoh

お尋ねの件で，0.333・・・のような少数を無限小数と言います。
円周率も，無限小数となります。平方根も特殊な場合以外は無限小数です。
無限小数は有理数と無理数とに区分されます。
有理数は整数の分数形式で誤りなく表示出来る数です。1/3は展開すれば無限小数ですが，有理数として扱われます。三角関数の場合は一般的には無理数ですが，特殊な角度では有理数となります。従って1/3=0.333・・・の表示は正しい数ではありません。
この考え方を拡張すれば，根号で表された数も有理数と見なされます。
無理数は分数式でも表せない数値を指します。例えば円周率は２万桁くらいまで求められているそうですが，実用上は約3.14で間に合いますし，文科省は小学校では約３として指導しろなどと言い出しました。小生は少し無茶な感じがしますが，場合によっては簡易な計算で済まされる場合もあることと，理解できないでもありません。
厳密な数学的表示には分数形式，実用上・便宜上の表示には概略数表示を使い分けるべきかと考えます。

お礼

ありがとうございます。
そもそもどうして1/3=0.333…なんてへんてこな話になるのかといえば、十進少数で表すからですよね。
三進少数なら1/3=0.1です。
もちろん、三進少数にすれば、循環少数になってしまう分数が変わるだけで、問題が解決されたわけではありませんがね。
つまり、どんな量も単位量に対する比として厳密に数値化できるという思い込みがこういったへんてこな話を生み出してしまっているのでしょう。
何でもかんでも数に代弁させたいっていう数学者の屈折した衝動が垣間見える気がします。
なんだか数学者って宗教家とあまり変わらないような・・。
カントールが無限集合論を作ったとき、ポアンカレはこれは病気だって言ってましたけど、本当にそう思います。
ポアンカレ同様、いつか数学がこの病から癒える日を待ち望みたいと思います。

補足

少数→小数ですね
失礼しました

回答No.4

B-juggler

あぁ、こういう風に考える方は出てくるのね・・・。

元代数学の非常勤講師です。

これその道のプロがたくさん来ますので、心配は要りませんよ。
　＃σ(・・*)なんかよりはるかにすぐれた方々が、見に来てくれるでしょうよ。

（１／３）　とは　１を３で割った　ということ。

０．３３３３３３３・・・・　これは　その答え（商）です。

確かに、電卓で　０．３３３３３３・・・・・・　×　３　＝０．９９９９９９９９

≠１　です。

（１／３）×３　＝１　は誰が見ても明らか。

ただ、私達は電卓ではありません。

０．３３３３３・・・　これ書くの面倒。循環小数の書き方で

０．３　の３の上に　点を打って、これが続きます　というやり方があるので、

この場ではこう書いておきます。　０．（３）　＝０．３３３３３３３３３だと思って？

０．（３）＝（１／３）　

上に書いているとおり、１を３で割った答えが　０．（３）なのですから　

成立しています。

ちなみに、０．（３）　は　立派に数です。

これが数でないのならば　（１／７）＝０．（１４２８５６）も数ではなくなりますよ？

もっと行けば、超越数は　（√２　とか、πとか）全て数でないことになりますよ。

信仰ではなく、数学とはそういうものです。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

ありがとうございます。
えーと、元代数学の非常勤講師ってことは数学の専門家さんですか？
だったら、実無限、可能無限の話くらいはご存知ですよね・・？
ちなみに、哲学者の野矢茂樹氏は、可能無限の立場から、０．（３）＝（１／３）　という考えを否定しておられます。
当然、０．（３）は数ではないと認識しておられます。
実際に東大で話したことがあるので間違いありません。
つまり、この問題は、実無限派と可能無限派で考えが分かれるというのは、数学の専門家さんなら当然ご存知のはずですが。

回答No.3

asuncion

＞私の考えでは、当然、0.333…は数ではありません。

ここの意味がよくわからないです。
数でなければ、0.333…は一体何なのでしょうか。

補足

まず、0.3は数です。
0.33も数です。
0.333も数です。
この調子で、この先どれだけ3を並べようとも数であることには変わりません。
しかし、そのどれもが有限であるという前提です。
0.333…は有限ではありません。
これは、0.3に限りなく3を付け加えていくという操作を示しているに過ぎないと考えます。
つまり、極限の考えに従えば、0.333…＝1/3は、0.3に限りなく3を付け加えていくと1/3に限りなく近づいていく、つまり、収束する、ということを示しているに過ぎません。
0.3に無限に3を付け加えていくと1/3になる、と言っているわけではありません。

回答No.2

misozin

考え方にもよりますが学校で習う分には等しいといえます。
1/3とは1÷3である事はご存知でしょう？

9÷3と9×1/3が同じ3になることで解ると思います。

つまり1÷3＝0.3333......(n)とするなら1/3は0.3333......(n)と等しいと言うことです。
もし、1÷3≠0.3333......(n)とするのであれば等しくはないと言うことではないかと俺は考えます。

補足

ありがとうございます。

＞つまり1÷3＝0.3333......(n)とするなら1/3は0.3333......(n)と等しいと言うことです。
もし、1÷3≠0.3333......(n)とするのであれば等しくはないと言うことではないかと俺は考えます。

うーん。
数学ってそんないい加減な結論で済ませていいものではないと思います。

回答No.1

nananotanu

んじゃ、その「差」はいくつですか？

補足

「その」差とは？
差はどんどん小さくなっていくが、決して０にはならないということです。
あ、ちなみに、私の考えでは、当然、0.333…は数ではありません。