平面分割 漸化式？

質問

２問のうちどちらかひとつでもいいので分かる方がいたら教えて下さい。
できれば簡潔な回答ではなく考え方もお願いします。

・平面上にｎ個の円があって、どの２つの円も異なる２点で交わり、またどの３つの円も同一の点で交わっていない。このとき、これらの円によって平面はいくつの部分に分けられているか。

　考え方として分割される平面の数をＬｎとすると
　n=0　　　Ｌ0=1
　n=1　　　Ｌ1=2
　Ｌｎ=ｎ＾2－ｎ＋2

・平面上のｎ本の線が分割する領域は、無限のものと有限のものが混じっている。有限の領域の数が最大Ｌｎになるようにすると、有限領域はいくつまで増やせるか。

　考え方としてｎ番目の線が、それ以前の線とk>0個の異なる点で交わる場合、有限の領域はk-1個増え(但し前からある線はどれも互いに平行でないとする。)、無限の領域は2個増える。
　有限の領域の最大数は　Sn-2(項)=(n-1)(n-2)/2=Ｌｎ－２ｎ

　有限の領域の個数をｂｎ　無限の領域の個数をＣｎ　全体の個数をａｎとしたとき
　ａｎ＝ｂｎ＋Ｃｎ
　Ｃｎ＝Ｃｎ‐1(項)＋2
　ｂｎ＝？

回答No.1

AR-A · ベストアンサー

誰も答えないようなので素人ですが考えてみました。

上の問題について。
例えば今n個の円が交わっている状態でそこに書かれている条件で新しいn+1個目の円を書くと、交点は2n個増え、２点を結べば新しい領域が出来るので領域も2n個増えます。（円なので新しく出来た点をA[1],A[2]…,A[2n]とするとA[1]A[2]で１つ、A[2]A[3]で１つ…A[2n]A[1]で１つ）
なので　L[n+1]=L[n]＋2n
円を書いてみればわかる…じゃだめですかね＾＾；

下の問題について。
有限の領域個数を最大にするには新しく線を引いた時にそれまでに引いた
全ての直線と交点を持てばよいので（ただし、３本の直線が１点で交わらないように）
その場合交点はn個であり、新しく出来る有限の領域はn-1個
（今度は直線なのでA[n]A[1]では領域ができない）
なのでL[n+1]=L[n]+n-1

こんな感じでしょうか。
どちらもあとは計算するのみです。