数学の漸化式の質問です。

質問

a1=1/2 an+1=(2an)/(an+1)　が収束することを示して、その極限値を求めよ　が分かりません。
よろしくおねがいします。

回答No.2

seuyu · ベストアンサー

問題の解釈が合っているのか分かりませんが、左辺のan+1を１つの項（つまり、anの次の項）とし、右辺の(an+1)は２つの項と解釈して進めます。

まず、anはゼロにならないので、anには各項に逆数が存在し
1/an+1=1/2 ＋　1/2an
ここで、1/an＝bnとすると
bn+1=bn×1/2 + 1/2
（特性方程式を解いて変形して）
bn+1 -1=(bn -1)1/2
b1=1であるから
常にbn -1=0
よってbn=1
bnはanの逆数であるからan=1
よってanはに収束し、極限値は１

なんだか答えが怪しい感じですが、代入すると合ってそうです。ちなみに、漸化式で分母が多項式、分子が単項式の、よく分からない漸化式が出てきたら、逆数をとるのが定石なので、はじめの解釈で進めました

お礼

どうもありがとうございます。助かりました。

回答No.7

eltaliese

＞５　
言われてみれば確かに・・・
最近こんなミスばっかだ。自分の回答を消してしまいたいorz

お礼

自分で考えるきっかけになっていますので、とても助かっています。どうもありがとうございます。

回答No.6

eltaliese

＃１，４です。連投すみません

＃２の方の解き方がスマートですね。素敵です。
本来私が言うべきじゃないのですが、＃２は b1=2　です。
よって
bn=(1/2)^(n-1) +1
∴an=2^(n-1)/{1+2^(n-1)}=1-1/{1+2^(n-1)}
よって1に収束

お礼

よりクリア―になりました。どうもありがとうございました。心から感謝します。

回答No.5

Tacosan

それはむしろ
「収束することは示せたけど極限値はわからない」
ではないかと＞#4.

単調増加で上に有界だから極限値は存在する (したがって収束する) けど, 極限値が 1 であることそのものは言ってないよね.

お礼

補足して頂いてありがとうございます。おっしゃる通りですね。

回答No.4

eltaliese

うぃ、把握しました。あくまで見易さ等のことなので、anやa1はa_n,a_1　としなくても大抵は大丈夫です。またa_(n+1)もa(n+1)で大丈夫ですね。逆に_使うと見辛くなることもあるからその辺は臨機応変に(^^;

少々力技で解いてみました。計算すると　a1=1/2 ,a2=2/3 ,a3=4/5 ・・・ an→1?　と推測

式変形で
a_(n+1)=2[1-{1/(an +1)}]
0<an<1　のとき　0<a(n+1)<1
また、両辺anで割って
a(n+1)/an　=2/(an +1)
(左辺)＞１ならば　2/(an +1) >1　両辺共に正なので不等号の向きは変わらないから
an<1
∴an<1 のとき　an<a(n+1)

a1=1/2なので
a1<a2<a3<・・・<ak<a(k+1)<・・・<1

果たしてこれで収束する事を示せたかは自信ないのですが、極限値は１　と分かります

お礼

どうもありがとうございました。心から感謝しています。

回答No.3

Tacosan

ぎゃくすう

お礼

ヒントありがとうございます。

回答No.1

eltaliese

問題がよく分かりません。
両辺のan+1は
(an)+1 でしょうか a_(n+1)　でしょうか？

漸化式などで出てくる第ｎ-1項、第ｎ+1項などについては問題が分からなくなるのでアンダーバー("_"の事です)と括弧を用いてa_(n+1)　などと書くのが常套手段です。また別の項同士はスペースを使って区別するのも見やすくなります。

補足

申し訳ありません。ご指摘ありがとうございます。

a_1=1/2
a_(n+1)=(2a_n)/(a_n+1)　が収束することを示して、その極限値を求めよ
です。訂正してお詫びいたします。

よろしくおねがいします。