三角関数と最大・最小

質問

数学の問題です。至急お願いします。

0＜ｘ＜π の範囲で ｆ(ｘ)=2sin2ｘsinx-1/2cos2ｘ を考える。Ｘ＝cosｘ とおくと、ｆ(ｘ)はＸを用いてｆ(ｘ)＝［ア］と表される。このことから、ｘ＝［イ］のとき、ｆ(ｘ)は最大値［ウ］をとる。

この問題を式を含め教えていただきたいです。宜しくお願いします。

回答No.3

info22_

No.2です。

ANo2の回答から該当の答えを拾えば
[ア]=-4*x^3-x^2+4*x+1/2
[イ]=π/3
[ウ]=7/4
となります。

回答No.2

info22_

f(x)=2sin(2x)sin(x)-(1/2)cos(2x) (0<x<π)
X=cos(x)とおくと -1<X<1
f(x)=4cos(x)sin^2(x)-(1/2){2cos^2(x)-1}
=4X(1-X^2)-X^2+(1/2)
=-4X^3-X^2+4X+(1/2)
=g(X)とおく。
g'(X)=-12X^2-2X+4=-12(X-(1/2))(X+(2/3))
g"(X)=-2(12X+1)
-1<X<1の時　g'(X)=0を満たすXはX=1/2,-2/3
g"(1/2)=-14<0より極大値g(1/2)=7/4
g"(-2/3)=7/4>0より極小値g(-2/3)=-77/54
-1<X<-2/3で　g'(X)<0より　g(X)は減少関数
-2/3<X<1/2で　g'(X)>0より g(X)は増加関数。
1/2<X<1で g'(X)<0より　g(X)は減少関数。
g(X)の増減表を書いてg(X)のグラフの概形を描いて下さい。

したがって　-1<X<1(0<x<π) の範囲で
X=1/2=cos(x),x=π/3の時　最大値g(1/2)=7/4
X=-2/3=cos(x),x=cos^-1(-2/3)=π-cos^-1(2/3)の時
　最小値g(-2/3)=-77/54

回答No.1

yyssaa

＞sin2x=sin(x+x)=2sinxcosx、cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1だから
f(x)=2sin2xsinx-1/2cos2x=4sinx^2cosx-cos^2x+1/2
=4cosx-4cos^3x-cos^2x+1/2、X=cosxとおくと
f(X)=-4X^3-X^2+4X+1/2［ア］
f'=-12X^2-2X+4=(3X+2)(-4X+2)、X=-2/3、X=1/2で極値。
0＜x＜πだから-1＜X＜1
f(1/2)=-4*(1/2)^3-(1/2)^2+4*(1/2)+1/2=7/4
よってcosx=1/2からx=π/3［イ］のときf(x)は最大値7/4［ウ］をとる。