三角関数

質問

大至急お願いします。数学の問題です

Oを原点とする座標平面上に定点A(3,3√3)、動点P(p,q)をとる。
ただし、0≦θ＜2πとして、
p=√3cosθ-sinθ
q=√3sinθ+cosθ
とする。

(１)線分OAの長さは(ア)であり、線分OAとx軸のなす鋭角はπ/(イ)である。
また、
q=(ウ)sin｛θ+π/(エ)}
と変形でき、同様に
p=(ウ)cos｛θ+π/(エ)}
と変形できる。また、
OP=(オ)
である。

(２)線分APの長さが最大になるのは、θ=(カ)/(キ)πのときであり、このとき、線分APの長さは(ク)である。

(３)△OAPが直角三角形になるようなθの値は、全部で(ケ)個ある。

途中式もお願いします

回答No.3

ferien · ベストアンサー

訂正です。済みません。以下の記述のところ、３π／４は、すべて４π／３に直して下さい。
計算は合っています。

>ＯＰは、中心が（０，０）半径が２の円周上を動きます。そのような円を描けばいいです。
>線分APの長さが最大になるのは、Ａ，Ｏ，Ｐが一直線上に並んだときです。
>そのとき、ＯＰとｘ軸とのなす角は４π／３です。
>ｘ座標＝２cos(4π/3)＝２・(-1/2)＝－１
>ｙ座標＝２sin(4π/3）＝２・(－√3/2)＝－√3
>ここで（ア）の式と比べると、θ+π/6＝4π/3　だから、θ＝7π/6のときＡＰが最大値を取ります。

よろしくお願いします。

お礼

詳しい回答、ありがとうございます！

本当にわかりやすかったです。
訂正もありがとうございました！

回答No.2

ferien

Oを原点とする座標平面上に定点A(3,3√3)、動点P(p,q)をとる。
ただし、0≦θ＜2πとして、
p=√3cosθ-sinθ
q=√3sinθ+cosθ
とする。

(１)線分OAの長さは(ア)であり、線分OAとx軸のなす鋭角はπ/(イ)である。
また、
q=(ウ)sin｛θ+π/(エ)}
と変形でき、同様に
p=(ウ)cos｛θ+π/(エ)}
と変形できる。また、
OP=(オ)
>である。
ＯＡの長さ＝６，線分OAとx軸のなす鋭角はπ／３，
ｑ＝２sin(θ+π/6)，ｐ＝cos(θ+π/6)　……（ア）
ＯＰ＝２です。

>(２)線分APの長さが最大になるのは、θ=(カ)/(キ)πのときであり、このとき、線分APの長さは(ク)である。
（１）のことを使ってグラフを描いてみると分かります。
ＯＡは、上の記述通りに描きます。
ＯＰは、中心が（０，０）半径が２の円周上を動きます。そのような円を描けばいいです。
線分APの長さが最大になるのは、Ａ，Ｏ，Ｐが一直線上に並んだときです。
そのとき、ＯＰとｘ軸とのなす角は３π／４です。
ｘ座標＝２cos(3π/4)＝２・(-1/2)＝－１
ｙ座標＝２sin(3π/4）＝２・(－√3/2)＝－√3
ここで（ア）の式と比べると、θ+π/6＝3π/4　だから、θ＝7π/6のときＡＰが最大値を取ります。
ＡＰ^2＝（３－（－１））^2＋（3√3－（－√3））^2＝６４より　ＡＰ＝８
よって、θ＝7π/6のとき、最大のＡＰ＝８　…カキク

>(３)△OAPが直角三角形になるようなθの値は、全部で(ケ)個ある。
これもグラフから分かります。
△OAPが直角三角形になるのは、円に対してＡを通る接線が引ける場合で、
そのとき、接線ＡＰと半径ＯＰが直交するので直角三角形になります。
このような接線は２本引けるので、θの値は、全部で(２)個　です。

のようになりました。どうでしょうか？

回答No.1

Cupper-2

座標（3,3√3） をイメージできれば簡単な問題です。

　１：２：√3

この三角形…分かりますか？
正三角形を半分にした形です。

そんなわけで、取りかかりのイメージを添付しますので、
今一度 自身で考えてみましょう。
意外と簡単に解ける部分もありますよね。

補足

ありがとうございます。
自分で（１）はできました

（２）からがわかりませんお願いします