直線の方程式の

質問

x+(3/2)z=-1/2
y-2z=1
から直線の方程式
(x-1)/-3=(y+1)/4=(z+1)/2
を求める方法がよくわかりません。教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

x + (3/2)z = -1/2
y - 2z = 1
から
x = -(3/2)z - 1/2
y = 2z + 1
を経て
(x, y, z) = (-(3/2)z-1/2, 2z+1, z)
とパラメータ表示すると、
(x, y, z) = (-(3/2), 2, 1)z + (-1/2, 1, 0)　
から
(x + 1/2)/(-3/2) = (y - 1)/2 = (z - 0)/1　　…[1]
と変形できます。
これが、直線の方程式表示です。

各辺にて定数 a を加えて、適当に整理すると、
(x + 1/2 - (3/2)a)/(-3) = (y - 1 + 2a)/4 = (z - 0 + a)/2
となって、
a = 1 のとき
(x - 1)/(-3) = (y + 1)/4 = (z + 1)/2　　…[2]
にはなります。
直線の方程式表示は、一通りではないですからね。

しかし、a = 1 は、どこから思いついたらいいんでしょう？
[2] よりも [1] またはそれを変形した
(2x + 1)/(-3) = (y - 1)/2 = (z - 0)/1
あたりのほうが自然な気がするのは、私だけでしょうか。

補足

答えでは
x+(3/2)z=-1/2
y-2z=1
よってx=-3t+1 y=4t-1 z=2t-1
tを消去して直線の方程式を求めると書いています。

回答No.4

alice_44

いや、要するに、
直線の方程式表示は一意ではないので、
[2] の他にも、[1] とか沢山あるだろう！という話。
一個の表示を得た後、所定の [2] を見つけるには、
前述のようなゴタゴタした操作が必要になる。
何のつっかえもなく、最初から自然に指定された [2] が
出てくる解法は、幸運というか、不自然というか…

回答No.2

info22_

> x+(3/2)z=-1/2　...(1)
> y-2z=1 ...(2)

直線を媒介変数tを使った媒介表現で求めてやると
まず、直線上の１つの点A(xo,yo,zo)を決めます。
直線上の点は無数にありますので出来るだけ数値の簡単な
点を選びます。
x=xo=1とします。
すると(1),(2)から
z=zo=-1,y=yo=-1
が決まり直線上の点Aの座標(xo,yo,zo)=(1,-1,-1)
が決まります。
(1)を変形して
(x-xo)+(3/2)(z-zo)=-1/2-xo-(3/2)zo
の形にすると
(x-1)+(3/2)(z+1)=0
(z+1)/2=(x-1)/(-3) ...(3)

y-2z=1 ...
(2)を変形して
(y-yo)-2(z-zo)=1-yo+2zo
の形にすると
(y+1)-2(z+1)=0
(z+1)=(y+1)/2
(3)の左辺と揃えると
(z+1)/2=(y+1)/4 ...(4)

(3),(4)をまとめると
(x-1)/(-3)=(y+1)/4=(z+1)/2

と直線の方程式が導出されます。

回答No.1

USB99

普通に
Z=―2/3 x―1/3 z=(yー1)/2と変形して
―2/3 x―1/3=(y―1)/2=z
各辺を+ 1して
-2/3x+ 2/3=(y+1)/2= z+ 1
1/2して
―1/3x+ 1/3=(y+1)/4=(z+1)/2

どうしてこういう変形をしたかったのかは不明。(1,―1,―1)を通る事を明示する必要があったのかな?

補足

答えでは
x+(3/2)z=-1/2
y-2z=1
よってx=-3t+1 y=4t-1 z=2t-1
tを消去して直線の方程式を求めると書いています