数学の場合分け後の代入について

質問

数学の場合分け後の代入について。

場合分け後の代入についてわからないところがあったので質問させてもらいます。

問題:(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/cのとき、この式の値を求めよ

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解答:

(b+c)/a=(c+a)/b=(a+b)/c=kとおくと、

b+c=ak...(A)

c+a=bk...(B)

a+b=ck...(C)

(A)+(B)+(C)から、2(a+b+c)=(a+b+c+)k...(D)

{1}a+b+c≠0のとき、k=2
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ここまではわかるのですが、ここから疑問が出てきました
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{2}a+b+c=0のとき、 b+c=-a

これをもとの式に代入すると、

k=(b+c)/a=-a/a=-1

よって　a+b+c≠0のとき2、　a+b+c=0のとき -1
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ここの{2}で自分が出した回答は、
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{2}a+b+c=0のとき、これを(D)式に代入して

2*0=0*k

このとき、kにどんな値をいれても成り立つから、
a+b+c=0のとき、すべての実数
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という回答を自分は出したのですが、問題集の解答には上にもあるように、
a+b+c=0をもとの式に代入して解を出しています。

なぜ、これを(D)式に代入してはいけないのかが理解できません。

初歩的な質問で申し訳ないのですが、どうかよろしくお願いします。

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

必要条件、十分条件のとらえ方だと思います。

(A),(B),(C)から(D)は出ますが、逆に(D)から(A),(B),(C)は出ないでしょう。

要するに数学で問題を解くというのも同値変形になっていなければなりません。

(D)の一つの場合としてのa+b+c=0から(A),(B),(C)を導く方法を考えてください。

お礼

spring135様がご回答をくださるまで、恥ずかしながら同値変形というものを知りませんでした。
同値変形の意味を調べ理解し、もう一度この問題を見直してみたところ、問題集の解答にも納得がいくようになりました。
ずっと考えていたものが解けてとてもすっきりしました。
ご回答くださってありがとうございました。