因数分解の問題で、（高１）

質問

ここでは、３乗を　＾3 と表現させていただきます。

次の式の因数分解がわかりません。
（ｘ＋y＋z)^3－x^3－y^3－z^3

途中式も含めて、どなたか、解答を教えてください。

回答No.3

akeshigsb · ベストアンサー

元塾講師です。

　大学受験の数学の問題は「こういうパターンはこう解く」といった手順を覚えないといけません。今回の問題は
(1)３乗の因数分解・式の展開
(2)複数文字を一時的に1文字に置き換えられるか・今回は「X+Y+ZをAと置く」
(3)似たものをまとめる

　こうした解き方を覚えましょう。難関大ではこの要素が複数絡んできます。
Aと置き換えると式は
A^3－X^3－Y^3－Z^3になります。次にいずれも3乗なので
（A^3－X^3）＋（Y^3－Z^3）にして3乗－3乗を作ります。
　＝（A－X）（A^2＋AX－X^2）＋（Y－Z）（Y^2＋YZ－Z^2）
　Aを戻し少し計算すると
　＝（Y＋Z）｛（X+Y+Z）^2＋X（X+Y+Z）－X^2｝＋（Y－Z）（Y^2＋YZ－Z^2）
　この後３つの文字を展開してもいいですしY＋ZをB等と置いて展開しても出ます。
　複雑なものでも上にあげたやり方をマスターすればしっかりとけます。チャート式等を使ってしっかり勉強しましょう。
ご参考までに。

お礼

ご回答ありがとうございました。
解き方もきちんと解説していただき、とてもよく分かりました。
本当にありがとうございました。

回答No.5

noname#182106

適当に公式を使っていくとなんとなくできた・・・は得るものがないのでナシとしますと、大きく分けて2つの方向があります。

1.対称式であることを考慮する→No.4さんの方法
2.1つの文字について整理する

2.を説明します。コツは展開する段階からxについて整理していくことです。

与式
={ｘ+(y+z)}^3-x^3-y^3-z^3
=x^3+3(y+z)x^2+3{(y+z)^2}x+(y+z)^3-x^3-y^3-z^3
=3(y+z)x^2+3{(y+z)^2}x+y^3+3yz^2+3zy^2+z^3-y^3-z^3
=3(y+z)x^2+3{(y+z)^2}x+3yz(y+z)
=3(y+z){x^2+(y+z)x+yz}
=3(x+y)(y+z)(z+x)

お礼

ご回答ありがとうございました。
考え方として、とても勉強になりました。
ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

式をよく眺めると、展開すれば 3 乗項が消えて
x の 2 次式であることや、x = -y であれば
z の値に関わりなく式が 0 になることが判る。
後は、x, y, z の対称性に気をつければ、
与式が (x+y)(y+z)(z+x) の定数倍だと解る。
x = 0, y = 1, z = 2 でも代入してみれば、
その定数の値も知れる。
対称式や交代式のこの手の扱いって、楽しいよね。

お礼

ご回答ありがとうございました。
こういう解き方もあるのですね。
私には、高度な考え方です。

回答No.2

j-mayol

なるべく展開しないでいくならこうでしょうかね
（ｘ＋y＋z)^3－x^3－y^3－z^3
=(x+y+z-x){(x+y+z)^2+(x+y+z)x+x^2}-(y^3+z^3)
=(y+z){(x+y+z)^2+(x+y+z)x+x^2}-(y+z)(y^2-yz+z^2)
=(y+z){(x+y+z)^2+(x+y+z)x+x^2-y^2+yz-z^2}
=(y+z){(x+y)^2+2(x+y)z+z^2+(x+y)x+zx+x^2-y^2+yz-z^2}
=(y+z){(x+y)^2+3(x+y)z+(x+y)x+(x+y)(x-y)}
=(y+z)(x+y)(x+y+3z+x+x-y)
=3(x+y)(y+z)(z+x)

お礼

ご回答ありがとうございました。
大変勉強になりました。

回答No.1

kkanrei

(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3
=(x+y+z)^2(x+y+z)-x^3-y^3-z^3
=(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx)(x+y+z)-x^3-y^3-z^3
=(x^3+y^3+z^3+3x^2y+3xy^2+3y^2z+3yz^2+3z^2x+3zx^2+6xyz)-x^3-y^3-z^3
=3x^2y+3xy^2+3y^2z+3yz^2+3z^2x+3zx^2+6xyz
=3{(y+z)x^2+(y^2+2yz+z^2)・ｘ+yz(y+z)}
=3{(y+z)x^2+(y+z)^2・ｘ+yz(y+z)}
=3(y+z){x^2+(y+z)ｘ+yz｝
＝3(y+z)(x+y)(z+y)
＝3(x+y)(y+z)(z+y)

(x+y+z)^3の展開に時間がかかりましたが、あとは簡単でした。

お礼

迅速なご回答ありがとうございました。