不連続な関数の積分

質問

次のような関数
f(x)=1/e (x<0)
f(x)=e^-x (0≦x)
がある。このとき、関数
F(x)=∫(x-a→x)f(t)dt
の最大値及びそのときのxを求めよ。ただし、eは自然対数の底、aは正の定数とする。

という問題です。

∫の下がx-aで上がxです。

積分に関する様々な本を調べてみたのですが、よく解き方が分かりません。
不連続な関数ということは分かるのですが・・・

ご教授のほど、よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

ｔ＜０　のとき
∫ｆ（ｔ）ｄｔ　＝　∫１／ｅｄｔ　＝　ｔ／ｅ　＋　定数その１

ｔ≧０　のとき
∫ｆ（ｔ）ｄｔ　＝　∫ｅ^(-t)ｄｔ　＝　－ｅ^(-t)　＋　定数その２

ｘ－ａ　→　ｘ　という区間が、ｘ＝０　の場所をまたぐか否かで、３つに場合分けをする。
（ア）ｘ＜０　の場合　（またがない）
（イ）ｘ－ａ＜０　かつ　ｘ≧０　の場合　（またぐ）
（ウ）ｘ－ａ≧０　の場合　（またがない）

（ア）
∫[t=x-a→x]ｆ（ｔ）ｄｔ　＝　［ｔ／ｅ］[t=x-a→x]
　＝　ａ／ｅ

（ウ）
∫[t=x-a→x]ｆ（ｔ）ｄｔ　＝　［－ｅ^(-t)］[t=x-a→x]
　＝　－ｅ^(-x)　＋　ｅ^(x-a)

（イ）
ゼロの地点の左側と右側との和なので、
∫[t=x-a→x]ｆ（ｔ）ｄｔ
　＝　∫[t=x-a→０]ｆ（ｔ）ｄｔ　＋　∫[t=０→x]ｆ（ｔ）ｄｔ
　＝　［ｔ／ｅ］[t=x-a→０]　＋　［－ｅ^(-t)］[t=０→x]
　＝　（０　－　（ｘ－ａ）／ｅ）　＋　（－ｅ^(-x)　＋　１）
　＝　－（ｘ－ａ）／ｅ　＋　－ｅ^(-x)　＋　１

以下省略しますが、
結果的に、（イ）の区間に最大値があります。
最大値を取るときのｘは、（イ）の式を微分をすれば求まります。

お礼

実際に図を書いてみると(イ)の区間が最大値になるということがよく分かりました！
というか、（ア）と（ウ）は最大値ないですね(^^;)
かなり理解できました！！
ありがとうございました！！

回答No.1

aquarius_hiro

積分を実行するときに、被積分関数 f(t) が t=0 で不連続なので、t<0 と 0≦t で (x-a,x) のtの区間を場合分けしたら良いですよ。図を描くとわかりやすいです。

高校では積分を微分の逆演算として教えるので、わかりづらいのですが、本来の意味は曲線の下の面積（横軸より下の部分は－符号をつける）で定義します。区分求積法ですね。なので不連続な点があっても、積分できます。

積分変数 t の区間が (x-a,x) なので、

(i) 0 < x-a < x の場合 i.e., a < x
(ii) x-a < 0 < x の場合 i.e., 0 < x < a
(iii) x-a < x < 0 の場合 i.e., x < 0

で場合わけします。

(i) では、
∫_{x-a}^{x} e^{-t} dt
= [-e^{-x}]_{x-a}^{x} = e^{a-x} - e^{-x}
になります

(ii) では、積分区間が不連続点 t = 0 をまたぐので積分を分けて、
∫_{x-a}^{0} 1/e dt + ∫_{0}^{x} e^{-t} dt
=(a-x)/e + 1 - e^{-x}

(iii) では、
∫_{x-a}^{x} 1/e dt
=a/e

になります。

あとは、それぞれの区間で、最大値を求め比較したらよいです。

お礼

なるほど。。。
実際に自分で図を描いてみたら、よく分かりました！
場合わけで考えるんですね！！
どうも場合分けが苦手というか、場合分けをせずに考えるクセがあって、
混乱して。。。
ありがとうございました！！
非常に分かりやすかったですm(_ _)m