コイルに流れる交流電流の問題

質問

インダクタンスLのコイルの両端に電圧V=Asinωtの電圧をかけます。
キルヒホッフの法則より
Asinωt-L(dI/dt)=0 なので
dI/dt=(A/L)sinωt　両辺を積分すると
I=-(A/ωL)cosωt＋C

となります。ここで積分定数Cは一般に0であるかと思いますが
0である理由をあえて言うとなんでしょうか。実験的に0になるから
と理解するしかないのでしょうか。

また0にならない場合はあるのでしょうか。

以上よろしくお願いいたします。

回答No.6

foobar · ベストアンサー

＃２さん回答にあるように、Ｃは直流電流になります。
例えば、超伝導コイルだと電圧0で直流電流が流れることができて、こういうコイルに内部抵抗0の交流電圧源をつなぐとＣ≠0の波形も出てきます。

例えば、t=0で電流0の超伝導コイルに、t>0でＡｓｉｎ(ωt)　(ｔ<0でＶ＝０） の電圧を加えると、Ｃ＝Ａ/(ωＬ）　の解になります。実際に、やってみると、A/(ωL)だけシフトて0と２Ａ／(ωＬ）の間で変化する電流が観測できます。

回答No.7

EleMech

No.1さんへ

　＞Asinωt - L(dI/dt)=0 という式は、「電源電圧と誘導起電力が同電位となり」は
　＞正しいですが電流は流れています。
理想変圧器が　Asinωt＝L(dI/dt) という扱いをする事は承知しています。
しかし、やはり同電位としてしまっては電流は流れません。
励磁電流が流れるからこそ誘導起電力が生じる訳で、実際そうであるので等価回路でも励磁アドミタンスとして表記されています。

この公式が部分的なものではなく、もっと大きな範囲のものを表しているのであれば近似値として無視も出来ますが、電源電圧と誘導起電力の直接的な関係では、無視する事は無理矢理の理屈に感じてしまいます。

お礼

すみません。私の書き方が悪かったようです。いろいろ調べた結果
過渡現象というのがあるそうで、これは高校では習わないので、それは
抜きとして、t=0ではすでに定常状態に達しているという前提が
必要でした。
また、V=Asinωtは電源電圧の起電力ではなく、電圧計などで測定した測定値
と考えれば、Asinωt - L(dI/dt)=0 が成り立つと考えて、電流は
流れるのではないかと思います。（自信がないですが・・・）

考え方にちょっと自信がないですが、間違っていればどなたかご指摘
いただければと思います。

とにかく皆様いろいろご回答ありがとうございます。

回答No.5

ykskhgaki

No.1です。
先ほどの解の式　i = (A/ωL)(exp(-R/L)t - cosωt)
は過渡現象を分かりやすく表現しようとしたものですが正しい解では
ありませんでした。
実際には、sinωt の項も加わり、定常電流は
Asin(ωt + φ)/√(R^2 + (ωL)^2) の形になります。

定常項と過渡項を合わせて表現して説明しようと試みたのですが、
厳密な解を求めるには少し時間がかかりそうです。

回答No.4

ykskhgaki

No.1です。
v = 0 (t ≦ 0)， v = Asinωt (0 ＜ t)
上式の意味は、(t ≦ 0)の間は v = 0 で、t = 0 でスイッチが閉じられて、
コイルに正弦波電圧が加えられたということを表しています。
> C = A/ωLつまり、i(0)= A/ωL → i(0) = 0 です。
もし、コイルの抵抗を R とすれば過渡現象の解は下記のようになります。
i = (A/ωL)(exp(-R/L)t - cosωt)
exp(-R/L)t は時間共に減衰する項で、R = 0 であれば永久に 1 のまま減衰しません。

No.3さんへ
Asinωt - L(dI/dt)=0 という式は、「電源電圧と誘導起電力が同電位となり」は
正しいですが電流は流れています。
この式は誘導起電力が電流の変化する速度に比例するということを表しています。
もし dI も０になるとすると、Asinωt = 0 となり意味をなしません。
dI は極めて 0 に近いかもしれませんが、dI/dt は 0 ではありません。

回答No.3

EleMech

＞キルヒホッフの法則より
　＞Asinωt-L(dI/dt)=0 なので
０だと仮定すると、電源電圧と誘導起電力が同電位となり、電流が流れない事になるので、dI も０になります。
とすると、
　Asinωt = Asinωt
となって、この公式の根本がゆらいできます。
粗捜しかもしれませんが、誘導起電力を生じる励磁電流を無視するというのには違和感があります。

回答No.2

tadys

Cには時間の因子tがかかっていません。
つまり時間が変化しても電流が変化しない＝直流です。

コイルに直流が流れているものはごく普通に有ります。
例えば、電磁石やリレーのコイル、整流回路のチョークコイル等々沢山あります。

回答No.1

ykskhgaki

一般に、微分方程式を解くときは初期条件が与えられますが、与えられて
いないときは、積分定数 C を付けたままの解でいいと思います。

このときの式の書き方ですが、下記のように表記すると記憶しています。
I = -(A/ωL)cosωt ＋ C → i = -(A/ωL)cosωt ＋ C
電気回路では時間的に変化する量(時間の関数)は小文字で表記します。

理想化されたコイルには抵抗がないので、書かれたような条件で式を解けば
C = A/ωL となり、i = (A/ωL)(1 - cosωt)
これは、入力電圧 v = 0 (t ≦ 0)， v = Asinωt (0 ＜ t) として、
電流の初期値を 0 としたときの過渡現象の解です。

しかし、この問題は定常状態での解を考えていると思われるので、
v = Asinωt (-∞ ＜ t ＜ ∞) であり、t = 0 以降の電流を観察すると
C = 0 となり、i = -(A/ωL)cosωt と表されます。

抵抗は無視できるほど小さいが、極めて長い時間の間には直流成分を減衰させる
だけの抵抗はあると考えればいいのではないでしょうか？

お礼

ご回答ありがとうございます。
t=0のとき電圧はv=0で、このとき計算上はC = A/ωLつまり、i(0)= A/ωL
となりますが、実際は導線などの抵抗が無視できないのでt=0のとき、i=0
ということですね。
つまりtが小さい時と、tが大きいときでは関数の形が異なり、tが大きいとき、
つまり定常状態に達したときはC=0として扱えるということですね。

こういう理解でよろしかったでしょうか。
間違っていた場合はご指摘いただければ幸いです。