高校物理、交流、コイルの電流

質問

（参考書の記述）
回路に抵抗がないとき、時刻tにコイルにかかる電圧がｖ＝V0sinωｔであるとする。このとき、微小時間⊿ｔ後の電圧をｖ＋⊿ｖ、電流をi＋⊿iとする。

電流の変化により、コイルには自己誘導起電力ｖLが生じる。電流iの向きを正として、ｖL=－L⊿i/⊿ｔ。
キルヒホッフの法則より、ｖ＋⊿ｖ＋ｖL＝（i+⊿i)×０＝０であり、⊿ｔが微小な時、⊿ｖ＝０であるから、ｖL=－Ldi/dtであり、di/dt＝V0/Lsinωｔであり、この式を満足するiの関数はi=ーV0/Lωcosωｔ。
（疑問）
(1)キルヒホッフの法則より、ｖ＋⊿ｖ＋ｖL＝（i+⊿i)×０＝０であり
＞右辺の（i+⊿i)×０はどういう意味でしょうか?私は⊿t後にはコイルの自己誘導により、電流が流れないと考えたのですが。
(2)、⊿ｔが微小な時、⊿ｖ＝０
＞微小時間だから電圧も変化しないと単純に考えてよろしいのでしょうか?
それとも何か別の理由がありますか？
(3)di/dt＝V0/Lsinωｔであり、この式を満足するiの関数はi=di/dt＝V0/Lcosωｔ。
＞di/dt＝V0/Lsinωｔを積分したらi＝V0/Lcosωｔ＋C（積分定数）が出てきて、ｔ＝０のとき、i=0であるから、C=－V0/Lとしたら、食い違いました、どうして私の考え方は間違えなのでしょうか?

回答No.7

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

回路の抵抗が完全に0なら
#実際は全くありえませんが

>i＝-(V0/Lω)cosωｔ＋C

が正しいです。Cは初期条件で
決まります。

ｔ＝０のとき、i=0

という初期条件も明確に問題の中で明示されているなら
答は誤りということになります。

回答No.6

中村 拓男（@tknakamuri）

>i = A{Lcosωt + Rsinωt - Le^((-R/L)t)}
>で時定数 -R/L で減衰する第3項を無視すると定常解は
>i = A{Lcosωt + Rsinωt)}
>R≒0 とすると i ≒ V0・(ω/(L^2ω^2))Lcosωt ≒ (VO/ωL)cosωt

すいません符号が違う(^^;

i = -A{Lcosωt + Rsinωt - Le^((-R/L)t)}

で時定数 -R/L で減衰する第3項を無視すると定常解は

i = -A{Lcosωt + Rsinωt)}

R≒0 とすると i ≒ -V0・(ω/(L^2ω^2))Lcosωt ≒ -(VO/ωL)cosωt

補足

何度もごめんなさい。
「回路に抵抗がないとき」という仮定があるのですが、「微小な抵抗 R が存在すると」としているのはどういうことなのでしょうか？

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

＞これを両辺iで積分すると、i＝-(V0/Lω)cosωｔ＋C (C = V0/(Lω)) となると思うのですが

微小な抵抗 R が存在すると、微分方程式は

V0sinωt = L(di/dt) + Ri

これの解き方は大学で習いますが、答えは A = V0・ω/(R^2 + L^2ω^2) とすると

i = A{Lcosωt + Rsinωt - Le^((-R/L)t)}

で時定数 -R/L で減衰する第3項を無視すると定常解は

i = A{Lcosωt + Rsinωt)}

R≒0 とすると i ≒ V0・(ω/(L^2ω^2))Lcosωt ≒ (VO/ωL)cosωt

というのが教科書に載っている答えではないかと思います。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>どうして、i=-(V0/Lω)cosωｔになるのでしょうか？

微分方程式というのは過渡解と定常解というものがあって、
定常解では時間とともに消えて行ってしまうものは無視します。

この問題では、実際にはコイルや電源に若干抵抗があるので、初期の
V0/(Lω) は急速に減衰してしまうのです。
抵抗まで含んだ微分方程式を解いてみればその様子がよくわかります。

補足

何度もすみません。微分方程式についてよくわかっていません。

di/dt＝V0/Lsinωｔの微分方程式を解くと、i=ーV0/Lωcosωｔということなのですが、
これを両辺iで積分すると、i＝-(V0/Lω)cosωｔ＋C (C = V0/(Lω)) となると思うのですが、そうではなく、i=-(V0/Lω)cosωｔであるということなのですが、どう考えて解いたのでしょうか?

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

訂正。ωが抜けちゃいました。

i＝-(V0/Lω)cosωｔ＋C (C = V0/(Lω)) が正しい。

sinωt の不定積分は -(1/ω)cosωt

補足

私の計算ミスで、確かに、ｔ＝０のとき、i＝０とすると、i＝-(V0/Lω)cosωｔ＋C (積分定数はC = V0/(Lω)) となるのですが、
参考書にはi=-(V0/Lω)cosωｔとあります。（つまり、積分定数は０）
しかし、こうすると、ｔ＝０のとき、i=-(V0/Lω)と、i＝０には当然なりません。
どうして、i=-(V0/Lω)cosωｔになるのでしょうか？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

(1) 抵抗が 0 ということ。
(2) Δt, Δv、Δi を全て限りなく 0に近づけることを考えるので
この場合は 0になると考えて差し支えありません。ｖLの中は分母分子共に０に近づくので
微分になります。
(3) t=0 で i=0 なら。

i＝-V0/Lcosωｔ＋C (C = V0/L) が正しい。

sinωt の不定積分は -cosωt だよ。

回答No.1

uen_sap

(1)意味不明、回路を一周して出発点に戻りますから、「0」
(2)⊿tと⊿vは同次の微小量ですから、⊿t≒0なら、⊿v≒0
(3)間違い。
t=0の時iはiでi=0ではありません。

補足

(2)について同次の微小量というのはぢういうことでしょうか？
（３）について、ｔ＝０のとき、電流が流れないから、i=0としたのですが、iはiというのはどういう意味でしょうか?