積と和の順序 足し算と掛け算の順序 計算順

質問

非常に初歩的なのですが群論について質問させていただきます

環の定義は　群(X,+)とモノイド(X,*)について
a*(b+c)=a*b+a*c (a+b)*c=ac+bc　(a,b,c∈X)　を満たす時
この二つの演算に関してXを環と呼ぶのでした

つまり、どこにも積を先に計算するとは書かれていません。
a*b+c=a*(b+c)=a*b+a*c　とするとどこで定義と矛盾が生じるのでしょうか
また、a*b+c=(a*b)+c　となる理由はどこから来てるのでしょうか

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

←No.5 補足
A No.6 の人も書いてるように、書式は書式でしかないのでね。
演算子順序を考慮するのが面倒(または嫌い)なのであれば、
全ての二項演算を括弧で括ってしまうという手もあります。
分配法則は、
(a*(b+c))=((a*b)+(a*c)),
((a+b)*c)=((a*c)+(b*c))　とかいう風に。
括弧が多くて見苦しいけれど、演算順序の意味では確実です。

全ての演算に対し順序が定められている必要はなく、
十分多くの括弧を使って書けば、演算子が全て等位であっても
任意の式が書き下せます。

* は + より先に計算するという書式上の規約は、
括弧の数を節約するための小手先の技でしかない。
単に式の書き方だけの問題なので、
環の定義の内容そのものに関係するわけではありません。

代数の参考書にこういったことが書かれていることは、少ない
でしょう。「(a*b)+c を ab+c と略記する」と明示してある本も、
無くはないのですが。この手の話題は、むしろ形式言語論に属する
ので、コンパイラ実装などの解説書には説明してあります。

お礼

なるほど、ありがとうございます
一般的にはそれが受け入れられるだろう。という事で省略される事が多いのですね　イメージ的には＝の定義が大体の参考書には載っていないのと同じなんでしょうか

とりあえず、とても参考になりました。少なくとも　環の定義⇒積が先　では無いようなので今度図書館にでも篭ってそこらへんが解説されている参考書を探してみようと思います。

回答No.6

kabaokaba

書き方の問題にすぎません

f(a,b)=a*b
g(a,b)=a+b

とかくことにすると
たとえば，
a*(b+c) = a*b + a*cってのは
f(a, g(b,c)) = g(f(a,c),f(a,c))
です．
分配法則は，
写像の合成の順番を表現しているんです．

逆ポーランド記法でかけば同じ規則は
a b c + * = a b * a c * +
ポーランド記法でかけば
* a + b c = + a b * a c *
ポーランド記法をlisp風にかけば
(* a (+ b c)) = (+ (* a b) (* a c))

書き方の問題にすぎません．

補足

>分配法則は，
>写像の合成の順番を表現しているんです．

もしそうならば、分配法則からa*b+cがa*b+a*cと異なる理由が示せそうですが・・・どうなんでしょう

回答No.5

alice_44

a＊b+c が a＊(b+c) じゃなく (a＊b)+c を表すことは、
単に書式上の規約で、環の定義とは直接関係ありませんよ。

まず書式を決めておかないと、環を定義しようにも
公理を書き下しようがないから、そっちを先に決めます。

書式は書式でしかないので、a＊b+c が a＊(b+c) を
表すような書式の下でも、環は普通に定義できます。
分配法則は、ちょっと違う外見になりますが…

例えば、通常 a＊(b+c)=a＊b+a＊c と書く規則は、
この書式では、a＊b+c=(a＊b)+(a＊c) です。

違うのは、数式の外見だけで、式の内容は同じです。
どんな数式でも、括弧を十分たくさん付ければ、
両方の書式で共通の外見になります。

補足

すなわち任意の数式？（数式って言っていいんですかねこれ…）は
全ての演算に対し順序が定められていて、その順序に従って括弧がつけられたとある数式が存在して（すなわちその式は十分に括弧がつけられた式であり）
それに対して高々必要なだけしか括弧をつけなかったものである。
としていいんですかね。

どちらにせよ参考書の類にこういった規則が書かれていないことが非常に疑問です…。

回答No.4

ORUKA1951

別に規定されているわけでもありません。
掛け算とは、同じものを複数回加え続けることです。
2+2+2+2+2+3 = 2*4+3と表すだけです。(群も同じでしたね。というか同じものですが)
小学校の二年生か三年生かで、習っているはずです。---忘れちゃったかな(^^)
　リンゴが２個乗った皿が４枚あります。式で表すと2×4は○をもらえて、4×2だと×だったはず。中学校で数を抽象化するときに、交換・結合・分配の計算をするところあたりで記憶から消滅したのかも。
a*(b+c)とは、
(b+c) + (b+c) + (b+c) ・・・ (b+c) + (b+c)
　　　　　　←ａ回→
ですから、同じように書き直してみると理解できると思います。

＞つまり、どこにも積を先に計算するとは書かれていません。
　積とはそういう意味だということですから、書く必要はないでしょ。

補足

とりあえずそれは積というよりＮによる左からの作用ですよね

回答No.3

Tacosan

単に「ふつう数学ではそう規定しているから」というだけだと思う.

逆に言うと, 記号として「+」や「*」を使うのは「* で表される演算が + で表される演算よりも優先される」ことを意図する (と解釈される), ってことでもある.

ところで
a*b+c=a*(b+c)=a*b+a*c
はあなたの思った通りに解釈されない可能性が高いのですが.... 最右辺の a*b+a*c はどう読めばいいですか?

補足

「ふつう数学ではそう規定しているから」
その規定が恐らく分配法則なのかな・・・と感じたのですが他にあるのでしょうか。

回答No.2

maiko0318

算数ではかっこ、掛け算・割り算、足し算・引き算の順だと教えられます。

群論や、環の定義では順序が違いますか？

回答No.1

asuncion

群論のことはさっぱりわかりませんが

＞a*b+c=a*(b+c)=a*b+a*c　とするとどこで定義と矛盾が生じるのでしょうか

途中の式を飛ばすと
a*b+c=a*b+a*c
という主張をなさっていますね。両辺から、相等しいa*bを引いても
等号は成り立つはずですから
c=a*c
という主張をなさっていることになります。
これは常に正しいですか？