偏差積和の証明

質問

統計学の勉強をしていたのですが、ふと、よくわからない式に遭遇してしまいました。
添付した画像ファイルもご覧になっていただきたいのですが、とある教科書に記載されていた偏差積和の式

Sxy=Σx(i)y(i)－(Σx(i))(Σy(i))/n・・・(1)

が、どうしても理解できません(>_<)
ここ↓
http://web.mac.com/ricebrd/%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%88_2/Blog/%E3%82%A8%E3%83%B3%E3%83%88%E3%83%AA%E3%83%BC/2008/5/8_%E5%81%8F%E5%B7%AE%E7%A9%8D%E5%92%8C.html
等で、偏差積和に関する大まかな意味は把握し、上記リンク先に記載されている式を展開すれば、(1)式になるのだと思い、展開してみたり試行錯誤してみました。
しかし、どうしてもうまく(1)を導くことができません。また、
偏差平方和↓
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4150278.html
の証明は見つかったのですが、偏差積和の証明は、見つけることができませんでした(ToT)

数学や統計学に自信のある方、お力をお借しいただければ幸いです。
よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

X = (1/n)Σx(i)
Y = (1/n)Σy(i)

と定義すると、XとYはそれぞれxとyの平均値なので、

Sxy = Σ((x(i)-X)(y(i)-Y))

が偏差積和。これを展開するだけ。やることは偏差平方和の話とまるっきり同じなので、迷うところはどこにもないと思うけど、強いて言えば

Σ(XY) = XYΣ1 = XYn

に注意するってことかな。

お礼

遅くなってすいません。
数日考えてみたのですが、数学は苦手でして、「展開するだけ」ということがなかなかできませんでした・・・でも、何とかできました！

Sxy =Σ(x(i)-X)(y(i)-Y)
=(x(1)-X)(y(1)-Y)
+(x(2)-X)(y(2)-Y)
+(x(3)-X)(y(3)-Y)
・・・
+(x(n)-X)(y(n)-Y)

=x(1)y(1)-x(1)Y-y(1)X+XY
+x(2)y(2)-x(2)Y-y(2)X+XY
+x(3)y(3)-x(3)Y-y(3)X+XY
・・・
+x(n)y(n)-x(n)Y-y(n)X+XY

=Σx(i)y(i)-Σx(i)Y-Σy(i)X+nXY

X = (1/n)Σx(i)
Y = (1/n)Σy(i)

を代入すると、

=Σx(i)y(i)-Σx(i)Σy(i)(1/n)-Σy(i)Σx(i)(1/n)
+n(Σx(i)Σy(i)(1/n)(1/n))

=Σx(i)y(i)-2Σx(i)Σy(i)(1/n)+(Σx(i)Σy(i)(1/n))
=Σx(i)y(i)+(Σx(i)Σy(i)(1/n))

アドバイス助かりました。
ありがとうございます<m(__)m>

回答No.1

noname#227064

偏差平方和のQ&A ANo.3にもあるように、xの平均とyの平均を定数と考えていいのですよ。