変分法の式変形についていけません。

質問

ダランベールの原理で、
-m(d2x/dx2) - ∂U/∂x = 0　の第２項の符号がマイナスにするメリットが解っていないのですが、
それは、そういうものだと納得しておき、

∫{-m(d2x/dt2) - ∂U/∂x}δx(t) = 0　の変形で、

部分積分をすると、

∫{m(dx/dt) (dδx/dt)- (∂U/∂x)δx}dt = 0 となると、本にあるのですが、

私には、

[{-m(dx/dt) - (∂U/∂x)dt}δx] + ∫{m(dx/dt) (dδx/dt) + (∂U/∂x)δx}dt = 0 になり、

初項は、δxでかけるので、0となるにしても、第２項の中の符号が+になってしまいます。
私の間違いを教えてください。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

＞-m(d2x/dx2) - ∂U/∂x = 0　の第２項の符号がマイナスにするメリットが解っていないのです

メリットも何も、ポテンシャルの定義から導かれる

F = - ∂U/∂x

を使っているだけです。ダランベールの原理とは無関係で、ニュートン力学でも同じです。

＞∫{-m(d2x/dt2) - ∂U/∂x}δx(t) = 0　の変形で、

は時間による積分で

∫{-m(d2x/dt2) - ∂U/∂x}δx(t) dt = 0

ですね。部分積分は第1項だけでポテンシャルを含む第2項はさわりません。

第2項を時間で部分積分すればこうですよ。

∫∂U/∂x δx(t) dt = [(∂U/∂x の積分) δx(t) ] - ∫(∂U/∂x の積分) d(δx(t))/dt dt
= - ∫(∂U/∂x の積分) d(δx(t))/dt dt

お礼

回答ありがとうございました。
初項のみ、部分積分するというのは、気付きませんでした。
著者の常識についていけない事がしばしばで、つらいです。