最小作用の原理

質問

サイトで最小作用の原理を読んだのですが
途中わからないところがあったので
説明をお願いします

運動方程式にδx(t)という時間の関数をかける。このδx(t)は仮想仕事の原理におけるδxに対応する。つまり一種の仮想変位である。

(-md^2x/dt^2-∂U/∂x)δx(t)=0

そして部分積分を１回すると

∫(m(dx/dt)(dδx/dt)-(∂U/∂x)δx)dt=0

となり

∫(1/2m(dx/dt)^2-U(x))(t)=0
と
∫(1/2m(d（x+δx）/dt)^2-U(x+δx)(t)=0
の変化量となる

と書いてあったのですが、
まず部分積分の計算の仕方がわからないのと

∫(1/2m(dx/dt)^2-U(x))(t)=0
と
∫(1/2m(d（x+δx）/dt)^2-U(x+δx)(t)=0
の変化量

となる理由を教えてください
お願いします

読んだサイト
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%BA%C7%BE%AE%BA%EE%CD%D1%A4%CE%B8%B6%CD%FD%A4%CF%A4%C9%A4%B3%A4%AB%A4%E9%A4%AF%A4%EB%A4%AB%A1%A9

回答No.1

noname#70519 · ベストアンサー

最初の問題：
変分と同じように δx(t) を積分するとき、積分の上下限、経路の出発点と終了点においては、
元の経路との差を 0 とするためでしょう。

つまり、∫(-md^2x/dt^2-∂U/∂x)δx(t)dt
=[{(-md^2x/dt^2)・∫δx(t)dt}-∫(-mdx/dt)・(dδx/dt)dt]-∫(∂U/∂x)δx(t)dt

右辺第一項の ∫[t_1→t_2]δx(t)dt は、t_1、においても、t_2 においても、元の経路からの
変位を 0 としているので ∫[0→0]δx(t)dt=0

∴　∫{m(dx/dt)(dδx/dt)-(∂U/∂x)δx}dt=0

次の問題：
(1/2)m・{d（x+δx）/dt}^2 の式は、（x+δx） を t で微分し、自乗したものに (1/2)m を掛ける

つまり、(1/2)m・{(d/dt)（x+δx）}^2=(1/2)m・{(dx/dt)+(d/dt）(δx)}^2
=(1/2)m・[(dx/dt)^2+2・(dx/dt)・(d/dt）(δx)+{(d/dt）(δx)}^2]
なので、
(1/2)m・(dx/dt)^2 との差が、(1/2)m・[2・(dx/dt)・(d/dt）(δx)+{(d/dt）(δx)}^2] であり、
{(d/dt）(δx)}^2 が微小変位、"δx の二次の量" であるのでこれを省略すると
(1/2)m・2・(dx/dt)・(d/dt）(δx)=m・(dx/dt)・(dδx/dt） となる、ということでしょう。

お礼

いやあ
ありがとうございます

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