式変形の仕方

質問

(∂^2u/∂x^2)+(∂^2u/∂y^2)

この式を、
x=r・cosθ, y=r・sinθとして変形すると、

(d^2u/dr^2)+(1/r)(du/dr)

になるのですが、導出過程が分かりません。
申し訳ありませんが、お分かりになる方教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

Rossana · ベストアンサー

一部括弧が抜けていたので訂正します．
仮定：u(x,y)＝u(r)，つまり，uはrのみに依存しθに依存しない関数である．
[証明]
連鎖法則より，
∂u/∂x＝(∂u/∂r)(∂r/∂x)＋(∂u/∂θ)(∂θ/∂x)
＝(∂u/∂r)(∂r/∂x) （∵仮定より∂u/∂θ＝0)

∂^2u/∂x^2
＝(∂^2u/∂x∂r)(∂r/∂x)＋(∂u/∂r)(∂r^2/∂x^2)
＝{(∂^2u/∂r^2)(∂r/∂x)＋(∂^2u/∂θ∂r)(∂θ/∂x)}(∂r/∂x)＋(∂u/∂r)(∂r^2/∂x^2)
＝(∂^2u/∂r^2)(∂r/∂x)^2＋(∂u/∂r)(∂r^2/∂x^2)
(∵仮定より∂^2u/∂θ∂r＝0)

同様に，
∂^2u/∂y^2
＝(∂^2u/∂r^2)(∂r/∂y)^2＋(∂u/∂r)(∂r^2/∂y^2)

したがって，
(∂^2u/∂x^2)+(∂^2u/∂y^2)
＝(∂^2u/∂r^2){(∂r/∂x)^2＋(∂r/∂y)^2}
＋(∂u/∂r){(∂r^2/∂x^2)＋(∂r^2/∂y^2)}
…(*)

ここで，r^2＝x^2＋y^2より両辺をxで偏微分して
2r∂r/∂x＝2x
∴∂r/∂x＝x/r，∂^2r/∂x^2＝1/r－x^2/r^3
同様に
∂r/∂y＝y/r，∂^2r/∂y^2＝1/r－y^2/r^3
ゆえに，
(∂r/∂x)^2＋(∂r/∂y)^2＝1，
(∂r^2/∂x^2)＋(∂r^2/∂y^2)＝1/r
(∵x^2＋y^2＝r^2)
を(*)式に代入すると，
(∂^2u/∂x^2)+(∂^2u/∂y^2)
＝(∂^2u/∂r^2)＋(1/r)(∂u/∂r)

さらに，仮定からu＝u(r)はrのみの関数であるから，
(∂^2u/∂x^2)+(∂^2u/∂y^2)
＝(d^2u/dr^2)＋(1/r)(du/dr)．

　　　　　　　　　　　　[Ｑ．Ｅ．Ｄ]
これで完璧です．

お礼

ありがとうございます。
Rossanaさんからご回答いただいた内容で、導出過程を理解することができました。
「uはrのみに依存しθに依存しない関数である」ということを表記しなかったことをお詫びします。

本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#5537

#1 です。肝心の URL を書き忘れてしまいました。すんません。
http://www.ele.kochi-tech.ac.jp/inoue/work/2000/index.html

参考URL：

http://www.ele.kochi-tech.ac.jp/inoue/work/2000/index.html

お礼

教えていただいた参考URLは今後も役に立ちそうです。
ありがとうございました。

回答No.1

noname#5537

ラプラシアンですよね？

↓ここの PDF の 39 ページに極座標形式のが導出過程を含めて載ってますが、
なんか答えが違う…