角運動量l→の時間微分、質点の速さ

質問

質点がxy平面内で反時計方向に半径rの等速円運動している時、質点に働く力は原点から距離の2城に逆比例する引力でその大きさをC/r^2と(Cは定数)表す

問１：角運動量l→の時間微分を計算することにより原点Oに対する質点の角運動量が保存されることを示せ。

問2：質点の速さを求めよ。

というものがあります。

問1：は
解説をみたら
m dr→/dt × v→ + mr→ × dv→/dt
　= mv→×vr→ ＋ r→ × m d^2r→/dt^2　＝0→
となっていました。

ここで疑問なのですがL=mv→×r→じゃないのでしょうか？上記の式だとvとrの位置が変わってます。
そしてそもそもなんでm dr→/dt × v→ + mr→ × dv→/dt
と足す必要があるのでしょうか
結果の
mv→×vr→ ＋ r→ × m d^2r→/dt^2　＝0→
は外積ゆえに並行なベクトルを掛けると０になるということからこうなるというのはわかるのですがそもそも０ベクトルになる＝保存されるのニュアンスがわかりません。
丁寧に解説頂けますでしょうか。

また質点の速さについて

m d^2r→/dt^2 = -Cr→/r^3より
mdr→/dt = -Cr→/r^3 dr→/dt
dr→/dt= -Cr→/mr^3 dr→/dt
これをvの形に直せばいいんじゃないかなと思ったらつまずきました。

御教授お願い申し上げます。

回答No.1

hitokotonusi · ベストアンサー

問1

角運動量の定義は

l = r × p = m r × v (全部ベクトル)

です。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F

この角運動量を微分したので

dl/dt = dr/dt × p + r × dp/dt (時間以外ベクトル)

になっています。

時間微分が0なのだから、時間に対して定数、つまり保存されている。

問2

向心力がC/r^2なので

m v^2 /r = C / r^2

から

v = C/mr

いわゆる一つのボーアのモデルですね。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%A2%E3%81%AE%E5%8E%9F%E5%AD%90%E6%A8%A1%E5%9E%8B#.E6.B0.B4.E7.B4.A0.E5.8E.9F.E5.AD.90.E3.81.AE.E8.BC.9D.E7.B7.9A.E3.82.B9.E3.83.9A.E3.82.AF.E3.83.88.E3.83.AB

お礼

リファレンスまで提供してくださりまことにありがとうございます。
またお返事が遅くなり申し訳ございません。
今後ともよろしくお願い申し上げます。

回答No.2

hitokotonusi

二乗を忘れました。正しくは、

v ^2 = C/mr

お礼

補足ありがとうございます。