極限値

質問

lim[x→1] {(x+3)/(3x+1)}^(1/(1-x))
この極限値を求めたいのですが、求め方を教えてほしいです。
どうかよろしくお願いします。

回答No.1

ask-it-aurora · ベストアンサー

[ヒント]
自然対数の底 e の定義式
e = lim[ξ → 0] (1 + ξ)^(1/ξ)
を使います．

[答え]
まず上の式を念頭に置きながら少し下準備をしておきます．
(x + 3)/(3x + 1) = 1 + 2(1 - x)/(1 + 3x)
ここで ξ = 2(1 - x)/(1 + 3x) とおくと，もとの式は
lim[ξ → 0] {(1 + ξ)^(1/ξ)}^η
の形に書けます．ただし冪の部分がゴチャゴチャするので
η = 2/(1 + 3x) = (2 + 3ξ)/4
とおきました．あとは e の定義式を使えば e^(1/2) が答えとわかります．

お礼

回答していただき、どうもありがとうございました。