極限

質問

lim[x→0]{(sin3x)^3/1-cosx}

の極限値が求められません。解る方は教えてください。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

{ (sin3x)^3 }/{1 - cosx}を
(1 + cosx)で通分し、

{ (sin3x)^3 }/{1 - cosx}
= { (1 + cosx)(sin3x)^3 }/{(1 + cosx)(1 - cosx)}
= { (1 + cosx)(sin3x)^3 }/{1 - (cosx)^2}
= { (1 + cosx)(sin3x)^3 }/{(sinx)^2}　（1 - (cosx)^2 = (sinx)^2と変形）

とします。
分子のsin3xは、このままだと分母のsinxと約分したりすることができません。
つまり分数式を簡単にすることができません。
そこで分子のsin3xを、加法定理を用いてsinx, cosxの式にします。
こうすることで、分子・分母をsinxで約分することができます
というより(sinx)^2で約分できるようになり、
問題の式は分数式ではなくなります。
この状態になれば、そのまま極限値を求めることができますよね。

大変そうですが、工夫次第で計算量を減らせます。

他にも、
{sin(ax)}/{sin(bx)}がx → 0の時a/bになることを示し、
それを利用する
という方法も考えられます。

お礼

とても解りやすかったです。
ありがとうございました！

回答No.1

koko_u_u

おおよそ、sin(x) がどの位のオーダーなのか、とか勉強しませんでしたか？