極限値

質問

アークsinなどの極限の問題がとけません。

　lim　tan＾-1（1/x^2)

lim (sinx^-1/tanx) ともにx→０です。

宜しくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

第1問
lim_{x→0}tan^-1(1/x^2)
tan^-1(1/x^2)＝θ と置くと, 1/x^2＝tanθ
x→0のとき, (1/x^2)→+∞ なので,
与式は tanθ→+∞ となるθ(一般には－π/2＜θ＜π/2 だが, 極限なので－π/2≦θ≦π/2) を表し,
(与式)＝π／2

第2問
lim_{x→0}(sin^(-1)x/tanx) [←これでいい?]
sin^(-1)x＝θ と置くと, x＝sinθ より
sin^(-1)x/tanx＝θ／tan(sinθ)＝{sinθ／tan(sinθ)}{θ／sinθ}
より, x→0のとき θ→0で sinθ→0にも注意すると
{sinθ／tan(sinθ)}→1
{θ／sinθ}→1
より
(与式)＝1・1＝1

お礼

ありがとうございました。よくわかりました。もっと勉強したいと思います。

回答No.2

noname#24477

arctan,arcsinをどのような範囲で考えるかが問題のように思います。
-π/2＜arctanx＜π/2と考えれば
1/x^2→∞なので、lim　tan＾-1（1/x^2) ＝π/2
でいいのかな。
範囲を一つの範囲に絞らなければ多価関数で決まらない。

２つ目は
θ＝arcsinxとおくと
ｘ＝sinθ　
この場合も範囲を限定してθが１つの値になるようにします。
θ→πや２πのときはおもしろくない。（ｘのプラスマイナスで決まらなくなる
∞，-∞）
問題としておもしろいのはθ→０のときでしょう。

ｘ→０のときθ→０とすると
lim（arcsinｘ/tanｘ）＝lim（θ/tan(sinθ））
＝lim（（θ/sinθ）/（tan(sinθ)/sinθ）
＝lim（（θ/sinθ）/（tanx/x））＝1/1＝１

自信ありとしましたが半分くらいかな。

お礼

ありがとうございました。勉強になります。