チェビシェフの微分方程式

質問

「y=cos(kθ),x=cosθ
がチェビシェフの微分方程式を満たすことを示せ」
という問題について，質問させて頂きます。

y'とy''，それからkの値(?)を出してチェビシェフの微分方程式に代入すればいいと思うのですが，微分の方法がよくわかりません・・。

重み関数w(x)=1/√(1-x^2)を用いるとは思うのですが，どう使っていいかがよくわからないです。

よければ重み関数の考え方と使い方，また別の解き方等があれば是非教えて頂きたいです。何方かよろしくお願いします。

回答No.1

pascal3141 · ベストアンサー

チェビシェフの微分方程式は、(1-x^2)y''-xy'+k^2y=0なので、y',y''を求めればいい。y'=dy/dx=(dy/dθ)/(dx/dθ)なので、dy/dθ,dx/dθをまず求める。dy/dθ=-ksin(kθ),dx/dθ=-sin(θ)より、y'=ksin(kθ)/sin(θ)となる。y''=dy'/dx=(dy'/dθ)/(dx/dθ)なので、上で求めたy'を使ってdy'/dθを出せば、必要な物はすべて求められる。後は代入で完成。

お礼

どうもありがとうございました。
解答のy'の値が重み関数のそれと似ていたため何か勘違いしていたようです。