偏微分方程式のラプラス変換による解法
皆様よろしくお願いいたします。
関数u(x,t)のtに関する偏微分∂u/∂t＝u_t、とxに関する2回偏微分∂^2 u/∂x^2=u_xxとおくとき
偏微分方程式 u_t = a*u_xx (aは正の定数）
初期条件：u(x,0) = 0
境界条件:∂u/∂x = u_x = -k （kは正の定数）
lim[x→∞]u(x,0) = 0
をラプラス変換して解を求めようとしてますが、ラプラス変換した式が導けません。
偏微分方程式の解は分かっていているので、解をラプラス変換すると答えは次式になるようです。
U(s,x) = k√a・exp( -x*√(s/a) ) / s^(3/2)
どのように導けばこうなるのかご教示ください。
ちなみに偏微分方程式の解は次式になります。（上式に入れて成り立つことを確認済み）
u(x,t)＝2k√(at/π)・exp(-x^2/(4at)) - kx・erfc(x/√(4at))
（※erfcはガウスの余誤差関数です）
【途中までやってみた計算経過】
偏微分方程式を→s、x→yへそれぞれラプラス変換して整理すると
U(s,y)＝ak/{y(y^2-s/a)}
となりました。これをy→xへラプラス逆変換すると
U(s,x) = -ka^2/s + ( ka^2/(2s) ) exp(-x√(s/a) ) + ( ka^2/(2s) )exp(x√(s/a) )
となり、答えになりません。
しかもこれだと3項目が境界条件lim[x→∞]u(x,0) = 0に従わず∞に発散してしまいます。
お礼
思い出しました。ありがとうございました。