固有値の最小多項式が重根を持つ時

質問

固有値の最小多項式が重根を持つ時のジョルダン標準形に変換する行列の求め方について教えて下さい。3次の例題で示します。
A=
2 1 1
1 3 2
0 -1 1
固有値=2(3重根)
B=A-2Eとして、
B=
0 1 1
1 1 2
0 -1 -1
⇩
0 1 1
1 0 1
0 0 0

rank(B)=2
dim(Ker(B))=3-2=1
よってジョルダン細胞は、2次が1個。
J=
2 1 0
0 2 1
0 0 2
固有ベクトルをp1=(x,y,z)として、
Bp1=0.....(1)
Bp2=p1....(2)
Bp3=p2....(3)
を満たすp2、p3を設定すると
変換する行列をPは、
P=[p1 p2 p3]

p1は、(1)より
x=y=-zだから、
p1=(-1,-1,1)と設定。
(2)より、
y+z=-1
x+z=0
だから、一番簡単(x=0)にして
p2=(0,-1,0)と設定。
(3)より、
y+z=0
x+z=-1
p3=(-1,0,0)と設定。
よって、
P=
-1 0 -1
-1 -1 0
1 0 0

P^(-1)AP=J

以上が普通のやり方ですが、別なやり方を考えました。
以下のようにしてもいいのですか?

B^2=
1 0 1
1 0 1
-1 0 -1

B^3=０

最小多項式が(λ-2)^3ということがわかりジョルダン細胞の最大次数は、3であることがわかります。

また、任意のu1=(x,y,z)に対し
B^•3u1=０
が成り立ちます。
ここで、u2,u3が0ベクトルにならないように、u1を任意に設定し、次のようなu2,u3を設定します。

u2=B•u1
u3=B•u2=B•Bu1=B^2•u1....(4)
(4)式の左からBをかけると
B•u3=B^3•u1=0
になります。

整理すると、
Bu3=0
Bu2=u3
Bu1=u2

となり、これは、先述した
Bp1=0.....(1)
Bp2=p1....(2)
Bp3=p2....(3)
の関係と同じです。

したがって、変換行列Pは、
P=[u3 u2 u1]
=[B^2•u1 Bu1 u1]
となります。
u1は任意なので、
Bu1≠0、B^2•u1≠0の条件で何でもいいので
u1=(1,0,0)として、
Bu1=(0,1,0)
B^2•u1=(1,1,-1)
よって
P=
1 0 1
1 1 0
-1 0 0

P^(-1)AP=J

このやり方でもいいですか?

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

この例の場合, つまり「3次行列に対して最小多項式が 3次」の場合はいけるね.

もうちょっと拡張すると「n次行列に対して最小多項式が n次」でもできる感じ.

「ジョルダン細胞が複数個ある場合」に拡張できなさそうなのが残念だけど.