対数関数の問題

質問

以下の問題がわかりません。どなたかわかる方、回答して下さると助かります。

4^n+5^n＜10^11
を満たす最大の自然数ｎを求めよ。
ただしlog[10]5=0.6990

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#175278 · ベストアンサー

4^n+5^n＜10^11…(1)
より　5^n＜10^11　
底１０の対数をとって　　n×log[10]5<11
したがって　n<15.7367.....

ここで
log[10]5^15=15×log[10]5=0.6990×15=10.485
0.485<log[10]5=0.6990 なので　5^15は1１桁で先頭の桁の数字が5以下
これは5^15<5×10^10を意味する 4^15<5^15より
4^15+5^15<5^15+5^15<10×10^10=10^11

以上から求める自然数ｎはn=15

お礼

大変わかりやすかったです！
ありがとうございました！

回答No.3

nag0720

4^n+5^n＜10^11
log(5^n((4/5)^n+1))＜11
nlog5+log((4/5)^n+1)＜11
n＜11/log5-log((4/5)^n+1)/log5

11/log5=11/0.699≒15.7
0＜log((4/5)^n+1)/log5<log2/log5=(1-log5)/log50.301/0.699≒0.4
より、
15＜11/log5-log((4/5)^n+1)/log5＜16
なので、
n=15

お礼

非常に助かりました！
ありがとうございました！

回答No.1

naniwacchi

左辺は 2*5^nより小さいことは明白なので、
そこから nを絞り込んでみては？

お礼

その発想はなかったです！
ありがとうございました！