数学

質問

解答がわからなくて困ってます。
どなたか数学に詳しい方、問いていただけませんでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

yyssaa

(4)の極値の確認方法を追加します。
前回回答では、停留点におけるf(x,y)が極値になるかどうかの
判定を判別式で行い、（Ｄxyをf(x,y)のxによる偏微分のyによる
偏微分、Ｄxxをf(x,y)のxによる2階偏微分、Ｄyyをyによる2階
偏微分とすると）Ｄxy(a,b)^2-Ｄxx(a,b)*Ｄyy(a,b)＜0となる
停留点(3/4,-1)でf(3/4,-1)が極値となり、Ｄxx(3/4,-1)＞0から
f(3/4,-1)=-1/8は極小値であると回答しました。
今回は、停留点(3/4,-1)の近傍でx,yを変化させたときにx.yの値
にかかわらず常にf(x,y)≧f(3/4,-1)となり、確かにf(3/4,-1)が
極小値であることを確認します。
h≧0、k≧0として
f(3/4+h,-1)-f(3/4,-1)
={2(3/4+h)^2+1-(3/4+h)-2(3/4+h)}-{2(3/4)^2+1-(3/4)-2(3/4)}
=2h^2≧0、よってf(3/4+h,-1)≧f(3/4,-1)
f(3/4-h,-1)-f(3/4,-1)
={2(3/4-h)^2+1-(3/4-h)-2(3/4-h)}-{2(3/4)^2+1-(3/4)-2(3/4)}
=2h^2≧0、よってf(3/4+h,-1)≧f(3/4,-1)
従って点(3/4,-1)の近傍ではxの値にかかわらずf(x,-1)≧f(3/4,-1)
となる。
f(3/4,-1+k)-f(3/4,-1)
={2*(3/4)^2-(-1+k)^3-(3/4)(-1+k)^2+2*(3/4)(-1+k)}
-{2*(3/4)^2-(-1)^3-(3/4)*(-1)^2+2*(3/4)*(-1)}=(3k/2)^2-k^3
だから(3k/2)^2-k^3≧0すなわち9/4≧kでf(3/4,-1+k)≧f(3/4,-1)
f(3/4,-1-k)-f(3/4,-1)
={2*(3/4)^2-(-1-k)^3-(3/4)(-1-k)^2+2*(3/4)(-1-k)}
-{2*(3/4)^2-(-1)^3-(3/4)*(-1)^2+2*(3/4)*(-1)}=(9/4)k^2+k^3≧0
だからf(3/4,-1+k)≧f(3/4,-1)
よって点(3/4,-1)の近傍(9/4≧kの範囲)ではyの値にかかわらず
f(3/4,y)≧f(3/4,-1)となる。
以上から、点(3/4,-1)の近傍ではx、yの値にかかわらず
f(x,-y)≧f(3/4,-1)が成り立つので、点(3/4,-1)は極小値であると
確認出来る。

回答No.1

yyssaa

(1)＞
右辺={A(x^2-6x+12)+(x+2)(Bx+C)}/{(x+2)(x^2-6x+12)}
=(Ax^2-6Ax+12A+Bx^2+Cx+2Bx+2C)/{(x+2)(x^2-6x+12)}
={(A+B)x^2+(-6A+2B+C)x+12A+2C}/{(x+2)(x^2-6x+12)}
左辺の分子の係数と比較して
A+B=-3・・・(1)、-6A+2B+C=35・・・(2)、12A+2C=-58・・・(3)
(1)からB=-3-A、(3)からC=-29-6A、(2)に代入して
-6A+2(-3-A)-29-6A=-14A-35=35から-14A=70、A=-70/14=-5
(1)からB=-3-A=-3+5=2、(3)からC=-29-6A=-29+30=1
よって、A=-5、B=2、C=1・・・答
(2)＞
(1)の結果から
(-3x^2+35x-58)/{(x+2)(x^2-6x+12)}=-5/(x+2)+(2x+1)/(x^2-6x+12)
このうち(2x+1)/(x^2-6x+12)=(2x+1)/{(x-3)^2+3}
={2(x-3)+7}/{(x-3)^2+3}=2(x-3)/{(x-3)^2+3}+7/{(x-3)^2+3}だから
(-3x^2+35x-58)/{(x+2)(x^2-6x+12)}
=-5/(x+2)+2(x-3)/{(x-3)^2+3}+7/{(x-3)^2+3}
よって∫{(-3x^2+35x-58)/{(x+2)(x^2-6x+12)}dx
=-5∫1/(x+2)dx+2∫(x-3)/{(x-3)^2+3}dx+7∫1/{(x-3)^2+3}dx・・・(1)
このうち
∫1/(x+2)dxはx+2=tとして∫1/(x+2)dx=∫1/tdt=log|t|+C1(定数)
=log|x+2|+C1・・・(2)
∫(x-3)/{(x-3)^2+3}dxは(x-3)^2+3=sとすると2(x-3)dx=dsだから
∫(x-3)/{(x-3)^2+3}dx=(1/2)∫1/sds=(1/2)log|s|+C2(定数)
=(1/2)log|(x-3)^2+3|+C2・・・(3)
∫1/{(x-3)^2+3}dxはx-3=tとおいて∫1/(t^2+3)dt
さらにt=√3tanθ=(√3)sinθ/cosθとおくと、
dt/dθ=(√3)(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ=√3/cos^2θ
t^2+3=3tan^2θ+3=3(1+sin^2θ/cos^2θ)=3(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ
=3/cos^2θ、よって∫1/(t^2+3)dt=∫{(cos^2θ)/3}{√3/cos^2θ}dθ
=∫(1/√3)dθ=(1/√3)θ+C3(定数)=(1/√3)arctan(t/√3)、よって
∫1/{(x-3)^2+3}dx=∫1/(t^2+3)dt=(1/√3)arctan(t/√3)+C3
=(1/√3)arctan{(x-3)/√3}+C3・・・(4)
以上から(2)～(4)を(1)に代入し、C1～C3をまとめてC(定数)として
∫{(-3x^2+35x-58)/{(x+2)(x^2-6x+12)}dx
=-5log|x+2|+2(1/2)log|(x-3)^2+3|+7(1/√3)arctan{(x-3)/√3}+C
=log{|(x-3)^2+3|/|x+2|^5}+(7/√3)arctan{(x-3)/√3}+C・・・答
(3)＞
√(x^2+8x+17)+x=t、√(x^2+8x+17)=t-xの両辺を二乗して
x^2+8x+17=t^2-2xt+x^2、x=(t^2-17)/(2t+8)、よって
√(x^2+8x+17)=t-x=t-(t^2-17)/(2t+8)=(t^2+8t+17)/(2t+8)
dx/dt={2t(2t+8)-2(t^2-17)}/(2t+8)^2=2(t^2+8t+17)/(2t+8)^2
よって∫{1/√(x^2+8x+17)}dx
=∫{(2t+8)/(t^2+8t+17)}{2(t^2+8t+17)/(2t+8)^2}dt=∫{1/(t+4)}dt
=log|t+4|+C(定数)=log|√(x^2+8x+17)+x+4|+C(定数)・・・答
(4)＞
f(x,y)=2x^2-y^3-xy^2+2xy
∂f/∂x=4x-y^2+2y=0・・・・・・・・・(1)
∂f/∂y=-3y^2-2xy+2x=-3y^2-2x(y-1)=0・・・・・・(2)
(1)から2x=(1/2)y^2-y、(2)に代入-3y^2-{(1/2)y^2-y}(y-1)=0
整理してy(y+1)(y+2)=0、y=0,-1,-2、これらを(1)に代入
y=0でx=(1/4)y^2-y/2=0、y=-1でx=(1/4)y^2-y/2=(1/4)+1/2=3/4
y=-2でx=(1/4)*4+1=2、
よって停留点は(0,0)、(3/4,-1)、(2,-2)・・・答
∂f/∂x=f'x、∂f/∂y=f'yとして
∂f'x/∂y=-2y+2、∂f'x/∂x=4、∂f'y/∂y=-6y-2xから
H(x)=(∂f'x/∂y)^2-(∂f'x/∂x)*(∂f'y/∂y)
=(-2y+2)^2-(4)*(-6y-2x)=4y^2+16y+8x+4
(0,0)ではH(x)=4＞0
(3/4,-1)ではH(x)=4-16+6+4=-2＜0、∂f'x/∂x=4＞0
(2,-2)ではH(x)=16-32+16+4=4＞0
よって、f(3/4,-1)=-1/8は極小値となる。・・・答