常備分方程式d^2y/dx^2+4y=sin2x

質問

常備分方程式d^2y/dx^2+4y=sin2xの一般解を求める問題で、特殊解をAsin(2x)+Bcos(2x)とおいたのですが、左辺が0になってしまいました。どうしたらよいのでしょうか。どなたか教えてください。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

定数変化法などでもよいですが，少し計算が煩雑そうです．

これはラプラス変換で特殊解を求めた方が楽です．ラプラス変換については工科系向けの微分方程式の教科書には必ず解説してあります．こうした常微分方程式を学ぶ場合にはラプラス変換は必ず学ぶはずです．

まず，y(x)(x≧0)のラプラス変換Y(s)(Re(s)>0)は

Y(s)=∫_0^∞e^{-sx}ydx

で定義され，y⇔Y(s)の変換には線形性があります．そして，yおよびその導関数の初期値がすべて0であるような場合，微分はsをかけることに相当するので

s^2Y(s)+4Y(s)=2/(s^2+2^2)

となります．ここで

sin(ax)⇔→a/(s^2+a^2)

を使いました．

Y(s)=2/(s^2+4)^2

=2{1/{(s-2i)(s+2i)}}^2

=2{(1/(4i)){1/(s-2i)-1/(s+2i)}}^2

=(-1/8){1/(s-2i)^2+1/(s+2i)^2-2/(s^2+4)}

ここで

xe^{ax}⇔1/(s-a)^2

も使うと

y=(-1/8){xe^{2ix}+xe^{2ix}-sin(2x)}

=-xcos(2x)/4+sin(2x)/8

こうして簡単に特殊解が求まりました．

ラプラス変換は通常x<0のとき0となる関数のみ扱います．しかし，ここで得られたyはx<0でも通用します．実際

dy/dx=-cos(2x)/4+xsin(2x)/2+cos(2x)/4

d^2y/dx^2=sin(2x)/2+sin(2x)/2+xcos(2x)-sin(2x)/2

=sin(2x)-4y

となり，xは任意の実数として差し支えありません．

とにかくこうして特殊解が求まりましたから，一般解は同次形の一般解Asin(2x)+Bcos(2x)と合わせて

y=Asin(2x)+Bcos(2x)-xcos(2x)/4+sin(2x)/8

となります．A，Bは初期条件から決まります．

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

「常備分」じゃなくて「常微分」.

定数変化法.