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9次正方行列Aの固有値に対する階数の条件とは？
- 9次正方行列Aの固有値に対する階数の条件とその必要十分条件を求めます。
- 行列Aの固有値が1（単根）と0（8重根）の場合の階数の条件と必要十分条件を示します。
- ジョルダン標準形に対して、固有値0に対する階数の条件と必要十分条件を逆算します。
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n 次正方行列 A のジョルダン標準形を J、その変換行列を P、 n 次単位行列を E と置きす。 J = (P^-1)AP より、任意のスカラー s、自然数 m に対して (A-sE)^m = P (J-sE)^m (P^-1) が成り立ちます。 s が A の固有値のひとつである場合に、J-sE がどんな行列か、 成分を考えてみてください。J が具体的にどんなジョルダン胞で 構成されているかが判っていれば、これにより、 (J-λE)^m の列のうち、零ベクトルになるものが、どこに何個 あるかが見えてくるハズです。 それにより、A の固有値 λ に対する高さ m の一般固有空間の 次元 dim Ker (A-λE)^m = dim Ker (J-λE)^m が求められます。 rank (A-λE)^m = n - dim Ker (A-λE)^m も、計算できますね。 結論を言えば、固有値 λ に対する各ジョルダン胞の、胞内で 第1行～第m行目にある行数の総和が、dim Ker (J-λE)^m であり、 それに対応する P の列が、その一般固有空間の基底を成します。 「総和」は、けして、m×ジョルダン胞の個数 ではありません。 m 次より小さいジョルダン胞には、「m行目」は無いからです。 例えば… J ～ J(1,1) (+) J(0,3) (+) J(0,2) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) であれば、 rank(A-0E) = 9-(1+1+1+1+1) = 4, rank(A-0E)^2 = 9-(2+2+1+1+1) = 2, rank(A-0E)^3 = 9-(3+2+1+1+1) = 1. J ～ J(1,1) (+) J(0,3) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) (+) J(0,1) であれば、 rank(A-0E) = 9-(1+1+1+1+1+1) = 3, rank(A-0E)^2 = 9-(2+1+1+1+1+1) = 2, rank(A-0E)^3 = 9-(3+1+1+1+1+1) = 1. …です。 J(0,m) の m の合計は、8 でないとマズイでしょうね。
お礼
(14)と(15) にJ(0,1)が一個足りませんでした。