双曲線関数の逆関数の導関数

質問

数IIIは履修していませんでしたが大学に入って一般教養で微積をやっています。
暇さえあれば教科書や資料を読んでいますがさっぱりわかりません；
どなたかわかる範囲でいいのでアドバイスを下されば、と思います。
解きたい問題はタイトルの通りで、具体的にはy=sech x,y=cosech x,y=coth xそれぞれの逆関数の導関数を求めることです。
sin,cos,tanについても一応調べながらやってはみましたが、正直わかりませんでした。
まず逆関数があるかどうかを確認するようですがその辺もわかりません。
ちょっとでも理解ができるようなサイトやアドバイスがありましたら教えて下さい。
明後日テストなのでなるべく早く知りたいです。　宜しくお願いします。

回答No.4

endlessriver · ベストアンサー

>cosh y=1/x。ここで1>=x>0に注意。
y=0で、cosh y=1で、1/x=1でx=1が値域と言うか定義域に入ります。
グラフの概略を描いてみると良いかもしれません。

>sinh yを等価なxの式で書き換えるとは
cosh y=1/x。が成り立っているので、cosh yをe^yの式に分解すると(e^y)の2次方程式となる。これをe^yについて解くとe^y=f(x)となるが、このf(x)をsinh yに代入すればsinh yをxの式で表せるのです。

お礼

解けました！　度々の丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.5

take008

y=sech^-1(x) ⇔ x=sech(y)=1/cosh(y) かつ y≧0
y=cosech^-1(x) ⇔ x=cosech(y)=1/sinh(y) （制限なし）
はわかりますか？
cosh() は放物線に似た形で左右対称，
sinh() はy=x^3 に似た形で単調増加，
がヒントです。

y=sech^-1(x) の y' の求め方，
No1 さんの方法が標準的ですが，こういう方法も。
1 = x cosh(y) の両辺をxで微分して（右辺は積の微分）
0 = 1 cosh(y) + x sinh(y) y'
　= cosh(y) + x√{(cosh(y))^2-1} y'
　= 1/x +√{1-x^2} y'
ゆえに，y'=-1/[x√{1-x^2}]

お礼

そういう方法もあるんですね。　参考になりました。
丁寧なヒント、ありがとうございました。

回答No.3

endlessriver

＃２です。すみません。
1=(cosh y)^2 - (sinh y)^2
でした。

回答No.2

endlessriver

定義にしたがって順番にいけばよいです。
たとえばy=sech x=1/cosh x
ですから逆関数はy=sech^(-1)xすなわちx=sech y=1/cosh y
するとcosh y=1/x。ここで1>=x>0に注意。
この両辺をxで微分すれば(sinh y)y'=-1/x^2

あとは(sinh y)を等価なxの式で書き換えます。cosh y=1/xをe^yに分解してe^yの２次方程式をときます。
これからsinh y=(e^y-e^(-y))/2を再計算してxの式にします。

しかし、泥臭いので1=(cosh y)^2 + (sinh y)^2=(1/x^2)+ (sinh y)^2から簡単に解けます。
あと元の関数は多値なので解は２つ。

お礼

回答ありがとうございます、早速解いてみました。
あまり理解していないのか途中までしかわかりませんでした；　
＞ここで1>=x>0に注意。
とは1>x>0ということとは違うのでしょうか？　またなぜそうなるのでしょう？
またsinh yを等価なxの式で書き換えるとは定義のeの式にすることですか？
宜しければ再度回答お願いします。

回答No.1

freedom560

最近はいろいろあってとても便利ですね。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0

お礼

回答ありがとうございます。
私もこのサイトを見たのですが質問に関する部分はわかりませんでした。
また何かあれば宜しくお願いします。