集合の対称差について質問です。

質問

大学で離散数学を勉強したので、もっと詳しく勉強するために、

マグロウヒル出版
コンピュータサイエンスのための離散数学入門

という本で勉強しております。
その中で分からない点がありましたので教えていただければと思います。

対称差のところで、
「P1⊕P2⊕・・・⊕Pk は集合P1, P2, ・・・, Pkのうちの奇数個の集合に含まれている要素の集合であると定める」
と書かれていました。（⊕は環境依存文字なので表示できているかわかりませんが、○の中に＋がある、対称差の記号です。）
これの意味がわかりません。
分かる方教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.1

MagicianKuma · ベストアンサー

PとQの対称差の定義から自然に拡張できます。PとQ対称差（△記号を使います）は　P△Q＝(P∩Q')∪(P'∩Q) です。P'はPの補集合とします。
P1△P2△P3≡(P1△P2)△P3　の意味としますと、P1△P2△P3=(P1∩P2∩P3)∪(P1∩P2'∩P3')∪(P1'∩P2∩P3')∪(P1'∩P2'∩P3) です。これをじっと眺めると、3個の集合に含まれる(P1∩P2∩P3)または1個だけの集合に含まれる(P1のみ,Pのみ,P3のみ)要素の集合になっています。
k=5でやってみましょう。
P1△P2△P3△P4△P5≡(((P1△P2)△P3)△P4)△P5
=(P1∩P2∩P3∩P4∩P5)　----5個の集合に含まれる
∪(P1∩P2∩P3∩P4'∩P5')　----3個の集合に含まれる
∪(P1∩P2∩P3'∩P4∩P5')　----3個の集合に含まれる
・・・
∪(P1'∩P2'∩P3∩P4∩P5)　----3個の集合に含まれる
∪(P1∩P2'∩P3'∩P4'∩P5')　----1個の集合に含まれる
∪(P1'∩P2∩P3'∩P4'∩P5')　----1個の集合に含まれる
・・・
∪(P1'∩P2'∩P3'∩P4'∩P5)　----1個の集合に含まれる
となるわけです。

お礼

なるほど、そういう意味だったのですね！
分かりやすい解説どうもありがとうございました。