必要十分条件の理解

質問

自分で勝手に言葉の表現で躓いているところがあり，質問させて頂きます．

「すべての実数x,yで成り立つ」・・・・・・A

という文章があったとします．ここで，

「x＝yで成り立つ」 ・・・・・・B

という文章も同時に考えるとします．
AならばBというのは真であり，BならばAは偽です．よってBが必要条件という
ことになります．
しかし必要条件というのは簡単に言えば「意味が広い方」ですよね．
たとえばx≧1とx≧3の2者を比べるなら，意味が広いx≧1が必要条件です．
しかし上記のAとBの文章を考えると，この「意味が広い方」だとどうもしっくり
来ないのです．Bが必要条件のはずなのに，Aのほうが意味が広いような気が
してしまうのです．つまり，「すべてのx,y」と言っている方が意味が広いよう
な気がしてしまうのです．

いったいどこに勘違いがあるのでしょうか．おかしな質問かもしれないのですが，
私自身すっきりしないので教えていただけませんか．

回答No.3

graycat000 · ベストアンサー

意味が広いほうが必要条件、とうい覚え方が混乱を招いてます。
必要条件と十分条件という概念と、意味が広い狭いという概念は無関係だと考えたほうがいいです。

A->Bのとき、AはBの十分条件と呼び、BはAの必要条件と呼ぶ。それだけです。
ただの形式上の名前なんです。

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ところで、混乱されている原因を考えてみたところ、
次のような説明を思いついたので説明させてください。

今おっしゃっている内容は、述語論理で表され、

A: ∀x,y( P(x,y) )
B: ∀x,y( x=y -> P(x,y) )

です。A->Bとは

∀x,y( P(x,y) ) -> ∀x,y( x=y -> P(x,y) )

という内容になります。つまり、

∀x,y( P(x,y) -> ((x=y) -> P(x,y)) )

であり、この内部の構造はトートロジーです。
しかも公理の一つに採用されるようなレベルの常に真であるような式です。

かなり当たり前のことを言っていて、

「カラスが黒いならば、朝、カラスは黒い」

と言っている文章です。

当たり前すぎワロタです。
ですので、質問者さんの理屈 A->B は完璧に正しいです。

P(x,y)は任意のx,yで真なので、Aの真理値表は全部真です。
(x=y) -> P(x,y)も、P(x,y)が常に真なので、常に真です。Bの真理値表も全部真です。
A->B が偽になるのは、T->Fの組み合わせだけだからです。

つまり、Aの真理値表も、Bの真理値表も常に真であるような式です。
A->Bのとき、AとBに大小関係はありません。

私が考えるストーリは次のようになります。
おそらく、質問者様はご自分で有名なトートロジー

X -> (Y -> X)

を考え出しました。
この論理はX,Yの真偽に全く関係なく、常に真です。
質問者様の考えは完璧に正しいわけです。

その上で、Xの内容を任意の入力に対して真という風に定義しました。
つまり、Xはあらゆる入力に対して真なので、巨大な真理値範囲をもっています。

ここで、質問者様はB式（Y->X）において、
Yをある限定された入力にのみ真である（x=y）。と定義しました。

ここで大きな誤解が生じます。

「A式の真理値が巨大なのに、B式の Y の真理値範囲は限定的（小さい）ではないか」
「Bが必要条件なんだから、Bのほうの真理値範囲が大きいはずだろう！」
「でも X -> (Y -> X) は絶対に正しい（トートロジーだから）」
「絶対に正しいはずなのにどうしてB式のほうの真理値が小さいんだろうか）

とのことではないでしょうか。
実際はそうではないです。

比較すべきはXと、（Y->X）の真理値範囲です。Yの真理値範囲ではありません。

そして両者は常に真で同じ真理値範囲の大きさを持っています。

言っている内容がトートロジーで恒真な上に、Aが常に真なのでBも引っ張られて常に真となります。
この上なく正しい理屈ですね。
何もかもが正しいので、ご自分でも検証できなくなったと推測されます。

最後に、便宜上、真理値範囲の大きさ、真理値範囲が大きいといった表現を使いました。
真理値表中で真になるパターンの数を指しています。
この表現だと「意味が大きい」といった考えを肯定するようですが、そういった考えはお勧めしません。
意味という言葉はあいまいなので、その理解は捨ててください。

お礼

あなたは私の拙い質問の意味を私以上に汲み取り，咀嚼し，説教してくださった方です．
感謝いたします．

回答No.4

MagicianKuma

No1さんのコメントをよ～～く考えてみてください。
A:x≧1で～が成り立つ。丁寧に言えば、　A:x≧1⇒P(x)
B:x≧3で～が成り立つ。丁寧に言えば、　B:x≧3⇒P(x)

このとき、　A⇒B　は真　なのでBはAであるための必要条件。
なのに、質問者はAの方が広い（何が？）ように思えると考えておられる。でもよく考えてみてください。
集合に結びつける場合は、成り立つ要素（この場合はx)が多いという意味ですよね。
Aが成り立つxは何でしょう？　Aは　x≧1⇒P(x)　です。　これは　￢(x≧1)∨P(x) の事です。　ですから、x<1またはP(x)が成り立つｘが範囲です。
Bが成り立つxは何でしょう？　Bは　x≧3⇒P(x)　です。　これは　￢(x≧3)∨P(x) の事です。　ですから、x<3またはP(x)が成り立つｘが範囲です。

どうでしょう？　Bが成り立つxの集合の方が大きいでしょう?

回答No.2

kamobedanjoh

少し意味を取り違えられているようです。
条件Aと　条件B　の二つが設定されていて，

１．AかBのどちらかを満たして居れば良いとされている場合　が十分条件です。
２．AもBも満たしていなければならないとされている場合　　　が必要条件です。
３．多数の条件を設定し，その内の特定の条件または幾つかに適合しなければならないとされる場合が　必要条件です。
その場合，多数の特定条件の設定も可能ですし，何個か以上の条件を満たせば良い場合は　必要にして十分な条件となります。
数値範囲の指定も条件の設定としては可能ですが，幾つかの範囲を同時に設定しその内の一つだけまたは何個かをを満たせば良い場合が十分条件　全てまたは何個かを満たさなければならない場合が必要条件です。
数値の範囲を比較するものではありません。
『必要か』『十分か』の，言葉の解釈と適用の問題です。

回答No.1

Tacosan

「x≧1 で成り立つ」と「x≧3 で成り立つ」とを考えたときに, どっちがどっちの必要条件でしょうか?

「意味が広い」という表現における「意味」ってなんでしょうか.