数学 An = An+1

質問

An+1=B+An
であるとき
An=B+An-1
は論理的に成り立ちますか？

また、An+1=B×An
であるときは
An=B×An-1
が論理的に成り立ちますか？

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

単に A[n+1] = B+A[n] というだけでは、A[n] = B+A[n-1] だとは限りません。
例えば、A[1] = 1, A[2] = 2, A[3] = 4, B = 2, n = 2 のとき、
A[n+1] = B+A[n] かつ A[n] ≠ B+A[n-1] が成り立っています。

特定の n の話ではなく、「任意の n について」を書き忘れたけれど、実は
∀n, A[n+1] = B+A[n] であるとき ∀n, A[n] = B+A[n-1] が成り立つか？
という話なのであれば、更に細部を補って、
∀n≧1, A[n+1] = B+A[n] であるとき ∀n≧2, A[n] = B+A[n-1] が成り立つか？
としてよければ、答えは「成り立ちます」になります。

∀n≧1, A[n+1] = B+A[n] であるとき、変数を n+1 = k で置換すれば、
∀k≧2, A[k] = B+A[k-1] と同値変形でき、それは
∀n≧2, A[n] = B+A[n-1] とも表記できるからです。

A[n+1] = B×A[n] であるとき A[n] = B×A[n-1] が成り立つか？
についても、まったく同様です。

補足

また少し言葉足らずでした。

nは0以上の整数です。

そして
A[0]＝C　（B,Cは定数）
という条件もあるのを忘れてました。

このではどうでしょう？

回答No.1

kamobedanjoh

等号(＝)の両辺に同じ値を加えても，減じても，共に等式は成り立ちます。
An+1=B+Anの両辺にそれぞれ(－１)を加えれば，
An=B+An-1
また，
An+1=B×Anの両辺にそれぞれ(－１)を加えれば，
An=B×An-1
となります。
乗算は，加減算より先に演算する約束があるので，
B×An　は　(B×An)　と見なします。

従って，ご質問の演算は，双方とも成立します。

補足

すみません、表記が悪かったです。

An+1やAn-1は
数列におけるAnの次の項、前の項のことを表してます。

言葉足らずですみません