数IIの問題です！

質問

数IIの問題です！

(1)放物線x^3-3x-a-1=0の異なる実数解の個数が、定数aのとる値によって、どのように変わるか調べよ。

(2)x>-1のとき、不等式x^3+3x^2+5≧9xが成り立つことを証明せよ。

答えしか持っていなくって…
詳しい解説よろしくお願いします(/ _ ; )

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
与えられた式を変形するとx^3-3x-1=aだから
f(x)=x^3-3x-1
f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)
となってf(-1)=1，f(1)=-3とあわせて考えると（増減表を書くこと!）
a<-3のとき1個
a=-3のとき2個
-3<a<1のとき3個
a=1のとき2個
1<aのとき1個
(2)
f(x)=x^3+3x^2+5-9xを考えて
f'(x)=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)
だから（増減表を書くこと!）
x>-1のときはx=1で最低値をとる。f(1)=0だからf(x)≧0

お礼

詳しい解説ありがとうございました(/ _ ; )✨
とてもわかりやすく丁寧で本当に見やすくて本当に助かりました！ありがとうございました！

回答No.2

noname#222520

考える訓練のための別解です。

(1)
x^3-3x-a-1=0を変形して、x^3=3x+a+1
ここで、y=x^3を考えると、y´=3x^2
x=±1のとき、y´=3
y=x^3上の点(1，1)における接線の方程式は、y=3(x-1)+1=3x-2
y=x^3上の点(-1，-1)における接線の方程式は、y=3(x+1)-1=3x+2
これらと、y=3x+a+1（この式の右辺は最初の式の右辺）を考えて、y切片を比較すると、
a+1＜-2→a＜-3のとき、異なる実数解は1個
a+1=-2→a=-3のとき、異なる実数解は2個（x=1は重解）
-2＜a+1＜2→-3＜a＜1のとき、異なる実数解は3個
a+1=2→a=１のとき、異なる実数解は2個（x=-1は重解）
a+1＞2→a＞1のとき、異なる実数解は1個

(2)
x^3+3x^2-9x+5を考えると、
x^3+3x^2-9x+5=(x+5)(x-1)^2
x＞-1→x+1＞0→x+5＞4
よって、x=1のとき、x^3+3x^2-9x+5=(x+5)(x-1)^2は最小値0をとる
これから、x＞-1のとき、
x^3+3x^2-9x+5≧0
x^3+3x^2+5≧9x

お礼

回答ありがとうございます！
詳しく別解教えていただきありがとうございました( ´ ▽ ` )ノ
一つの問題でもたくさん解き方のコツあるんですね…
知恵が広がりました✨
ありがとうございました（≧∇≦）