数II 円と極線の関係について

質問

座標平面上に2円

O1：f1（ｘ,ｙ）=x^2＋y^2＋a1x＋y1x＋c1
O2：ｆ2（ｘ,ｙ）=x^2＋y^2＋a2x＋y2x＋c2

が存在し、その二円が共有点を二つ持つとき、
その共通弦Lの方程式が

L：f1(x,y)-f2(x,y)=0⇔（a1-a2）x＋（b1-b2）y＋（c1-c2）=0

となることは分かるのですが、

(i)２円O1,O2が一点で接しているとき
(ii)O1∩O2=∅で2円が共有点をもたないとき

の場合のLがどんな線になるのか、ということが分かりません。
(ii)の場合、なんとなく極線が絡んでくるのかな、という
予測ぐらいはつきますが、実体が分からないので困っています。

説明が稚拙で申し訳ありません。

極線と反転に関する最低限の知識はありますが、
当方まだ高校生のため数IIの範囲内で説明して下さると嬉しいです。

ご回答、宜しくお願い致します。

回答No.2

nag0720

平面ではなく、三次元上で考えればイメージしやすいかもしれません。

O1：z=x^2＋y^2＋a1x＋b1y＋c1
O2：z=x^2＋y^2＋a2x＋b2y＋c2

O1,O2は曲面の式です。
曲面の形は、底が丸くて上部が無限に広がっている壺をイメージしてください。

O1とO2は、a1=a2,b1=b2でない限り必ず共通部分が存在し、その形は放物線になります。
その放物線を含む平面の式が、
（a1-a2）x＋（b1-b2）y＋（c1-c2）=0
です。

回答No.1

Mr_Holland

＞(i)２円O1,O2が一点で接しているとき

　円周上の点をP(x0,y0)とすれば、f1(x0,y0)=0 は円O1の点Pでの接線を表します。
　同様に、f2(x0,y0)=0 も円O2の点Pでの接線を表します。
　従って、f1(x0,y0)=f2(x0,y0)=0から得られる直線Lは、2円の共通内接線の方程式になります。

＞(ii)O1∩O2=∅で2円が共有点をもたないとき

　2円が同心円でなければ、2円の中心を結んだ直線に垂直な直線が得られますが、それ以外の特徴は、極や極線、反転との関連も含めて確かなかったと思います。（特に高校数学ではそのように教えられているはずです。）
　2円が同心円（例：x^2+y^2=4, x^2+y^2=1）でしたら、Lの方程式（0=3)は等式として成立せず意味を持ちません。（2円の方程式を共に成立させる実数x,yが存在しないのですが当然ですが。）

＞(ii)の場合、なんとなく極線が絡んでくるのかな、という予測ぐらいはつきますが、実体が分からないので困っています。

　予測を付けるのでしたら、具体的に簡単な円の方程式を設定して求めてみるといいです。
　例えば、2円：x^2+y^2=1, (x-4)^2+y^2=4 からは　直線：x=13/8 が得られますが、この直線の極線としたときの極点(8/13,0),(44/19,0)の意味や、共通内接線の交点(x=4/3)、共通概接線の交点(-4,0)などとも明確な関連が見いだせないことが分かると思います。