整数についての問題 二乗と余り

質問

ある問題の回答の中で

1≦n≦120 n^2を8で割ると1余る　⇔　　1≦n≦120 nを8で割った余りが1.3.5.7である

という事実が使われていたのですが、なぜこう言えるのかわかりません
教えてください

回答No.1

Dr-Field · ベストアンサー

1≦n≦120 n^2を8で割ると1余る・・・(1)
1≦n≦120 nを8で割った余りが1.3.5.7である・・・(2)

(2)であるならば(1)が成立する証明
nを8で割った商をa、余りをRとすると、n＝8a+Rと書ける。
n^2＝64a^2＋16aR＋R^2であるが、64a^2＋16aRは8の倍数になっているので、8で割り切れる事がわかる。Rは1,3,5,7であるが、いずれの値をとっても、8で割ると1余る。すなわち、R=1→R^2=1→余り1、R=3→R^2=9→余り1、R=5→R^2=25→余り1、R=7→R^2=49→余り1。故に、(2)であるならば(1)であることになる。

(1)であるならば(2)が成立する証明
n^2を8で割った商をbとすると、n^2=8b＋1と書ける。これはn^2が奇数である事を意味している。
それはまた、nが奇数であることも同時に意味している。というのは、nが偶数ならばn^2も偶数になるはずだから。
そしてnが奇数であるならば、nを8で割ったときの余りは1,3,5,7のいずれかになる。もし、余りが2,4,6であるならば、nが偶数であることになり、nが奇数である前提に反する。

以上より、(1)⇔(2)は成立する。

補足：以上の証明により、n≦120でなくても、自然数ならば一般的に成立すると考えられる。

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.3

alice_44

自然数 n を 8 で割った余りは 0,1,2,3,4,5,6,7 の 8 通りしかありません。
各々の場合に、n^2 を 8 で割った余りは 0,1,4,1,0,1,4,1 になります。
(n を二乗してみれば判る。)
どの場合に n^2 を 8 で割った余りが 1 になっているかは、一目瞭然です。

回答No.2

jaham

1≦n≦120　 n^2を8で割ると1余ることから　ｎ　は奇数であることが判ります

何故でしょう　考えてください

整数の二乗ですから　奇数の二乗　もしくは偶数の二乗です（それ以外はありえません)　その結果が奇数になるのはどちら

＞1≦n≦120 nを8で割った余りが1.3.5.7である

とは　ｎが奇数であるとの意味

思い込みを捨てて　全貌を見ることです　　瑣末な部分に囚われて肝心なことが見えなくなっている状態です