整数問題

質問

nを2以上の正の整数とする。(n-1)n(n+1) の正の約数で、nで割った余りが1であるものをすべて求めよ。

という問題です。
題意を満たす約数をdとし、nで割った商をpとすると、
d=np+1
そして、(n-1)n(n+1)はdで割り切れる。

ここまで出来たのですが、これ以降が続きません。
具体的にn=2、3、4と代入し、答えはおそらく1とn+1だと推測したのですが…どなたか教えてください。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＃１さんの考え方は、
n+2以上の数で(n-1)n(n+1)の約数となっているものは、「n-1, n, n+1の少なくともどれか 2つ以上を掛け合わせたもの」とは限らないので誤りですね。
（例えば、n=11のとき、10*11*12=1320の約数15）

nとnp+1とは互いに素なので、問題は、
「(n-1)(n+1) の正の約数で、nで割った余りが1であるもの」
と言い換えることができます。
よって、
(np+1)q=(n-1)(n+1)
となるp,qを求めればいいことになります。
式を変形すれば、
pq=n-(1+q)/n

(1+q)/n　は整数でなければならないので、
q=kn-1　（k=1,2,・・・,n）
とおくと、
p(kn-1)=n-k
よって、
p(n-1)≦p(kn-1)=n-k＜n
より、
p≦1
でなければなりません。

p=0　のとき、np+1=1
p=1　のとき、np+1=n+1
なので、1とn+1だけが解となります。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.5

naniwacchi

#1です。
詰めが甘かったようです。
失礼しました。

＞＃４さん
#2さんの回答は、しばらくの間「サポート確認中」になっていたので、
時間的に後から追加されたようになっているようです。

回答No.4

alice_38

あれ？
なぜ、類似回答が、
後の時点から前の位置に入る？

回答No.3

alice_38

ややこしいですね。

d は、(n-1)n(n+1) の約数で、
n とは互いに素なものですから、
(n-1)(n+1) の約数です。
その商を q と置くと、
(n-1)(n+1) = (np+1)q より
q+1 = n(n-pq) となりますから、
q+1 は n で割り切れます。
そのような q で、正で最小のものは、n-1 です。
よって、q ≧ n-1。
ここから、d ≦ n+1 が言えます。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

naniwacchi

少し突拍子もないように見えますが、よくよく考えてみると。
まずは、n= 2とか n= 5とかあたりで当たってみるのがよいですね。

まず、nよりも小さい約数を考えます。
このような数は当然、1～ n-1の数となっています。
この中で余りが 1となるのは、"1"のときだけです。
（数自身が余りとなっているから）

nのとき、n+1のときは、明らかですね。

n+2以上の数について考えます。
そして、(n-1)n(n+1)の約数となっているものは、
「n-1, n, n+1の少なくともどれか 2つ以上を掛け合わせたもの」となります。
あとは、それぞれの余りを計算すればよいことになります。

お礼

ご回答ありがとうございます。