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自然数の等間隔並びを証明する方法
- 自然数の等間隔並びを証明する方法について説明します。ペアノの公理によって、数字が順番に並ぶことが定義されています。加法を定義することで、自然数の間隔を同じにすることが可能です。
- 例えば、ジャガイモの数を考えると、それぞれのジャガイモの重さが異なるため等間隔ではありません。しかし、数直線上に自然数を並べる場合、加法の定義によって等間隔になります。
- ただし、大きなジャガイモや小さなジャガイモが存在することは考えられますが、数直線上の自然数の場合は等間隔となります。対数グラフと普通のグラフの対応も考えることで、自然数の等間隔並びを補完的に理解することができます。
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ペアノの公理系は「等間隔」なんてことは「直接は」主張していません． 本質的に「次がある」ということだけを規定するだけです． そもそもNo.2さんご指摘のように， 「等間隔」「大きな1」「小さな1」なるものを ペアノ公理系の枠内で表現しないと 議論の土台にすら載りません． ざっくりやっちゃうと 空集合φの存在を仮定して φ=0 {φ}=1 {φ,{φ}}=2 ・・・ と書くことにして， 0の後継=1 1の後継=2 としていくと， うまいこといくというわけで， 加法を定義する際に 「数a」の後継「a+1」の「+1」という表記と 「集合{φ}=1」の意識的な混同がまぎれてるんでしょうが， ここらへんは，自分で手を動かして考えないと わかんないと思います． 「+1」が「後継」を表すこと，逆算的には 自然数n=(n-1の後継)=「(n-2)の後継」の後継=・・・ と「前」を計算していくと（「後継」の「逆写像」の存在は証明できる） 同じ関数「後継」の合成で構築できることになるので そこらあたりから「等間隔」とかの表現ができるのかもしれません．
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- itshowsun
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どう表現すれば、理解できるかを考えてみると、 数学の基盤と言語の問題ではなかろうかと思われます。 大きく分けて数学には２つの言語があります。 形式言語： 古典論理＋集合論 非形式言語： 自然言語＋クラス 古典数学（いわゆる現代数学、新数学）は、 非形式言語のクラスを集合論で再構成する学問です。 今の問題となっている（質問者の）ユニバースでは 非形式言語として、 自然数、実直線、間隔（正確には距離） からなっています。 まず自然数を集合で構成するには、 自然数と言われるものが序数と基数というものに区別できる ということを理解しなければなりません。 このうち、序数については、ペアノの公理のように、 0 ⊆ 1, 1 ⊆ 2, .... のように、集合の包含関係をもって、 自然数と同じ性質を持つ序数体系を構成できることになります。 そのとき、自然数と序数体系は同型であるので、 包含関係⊆は順序関係(自然数では大小関係)≦と置き換えることができます。 しかし、自然数のうち基数はペアノ公理では構成できません。 たとえば、あり１０匹の集合と象２頭の集合があって、 どちらの集合が大きいか？あり10匹の集合が大きいと言えるでしょうか？ また、集合の定義から、あり１０匹の集合はあり一匹の集合と同じでは？ そこで、集合に「同値類」という考え方を取り入れます。 これは、あり10匹がおり、それらをあり１、あり２、...、あり10 と名付け、 それぞれ識別できると考えると、 ｛あり１、あり２、...、あり１０｝ という濃度１０の集合が定義できます。 このとき、9匹のありの集合と１０匹のありの集合は包含関係にあり、 9 ＜ 10 と濃度を比較することができます。これで基数が集合論と同値類によって構成されました。 ここまでのところ「間隔」という概念は全くでてきませんし、 数学的であるためには、構成されていない概念を使ってはいけません。 （上で使った「あり１」、「あり２」という方法は、数字を序数として使っている。） そこで「間隔」を集合に取り入れるためには、まず、集合に「位相」を与えなければなりません。 実際に位相は集合のある二要素に位相関係（距離ではない）を与えることです。 これによって位相空間が構成されます。 さらに、二点間の距離を定義するためには、「距離」を定義した計量空間を構成します。 ここで初めて非形式言語の「距離」や「等間隔」が数学的形式言語で意味を持つことになります。 集合のみを基盤とするペアノの公理による序数を、 それよりはるかに複雑な計量空間の概念である「間隔」をもって、 自然数を理解しようとするのは、無理があります。 非形式言語による概念は、数学的に構成されて初めて形式言語としての意味を持ちます。
お礼
質問がわるかったです。ごめんなさい。 No.4様の回答が知りたかったことに答えてくれていたので、そちらをベストアンサーといたしました。 私が質問を正しく書くか、もっとうまく説明できていればNo.7様も正しく回答できたとおもいます。すみません。 No.7様の回答の「同値類」と「序数」という概念のおかげで、 自然数が等間隔に並ぶことを証明できるでしょうか？ 2つの質問に分割できます。 自然数の序数について、 ・数えたときの順序ってどう表現するといいの？ ・1という概念を同値類としたのはどうして? ほかの概念(どんな概念がありうるかわからないけれ ど)より1がより基本にあるのはどうして？ となります。 No.4様の回答を読んで下記2つのことがわかりました。 ・集合の入れ子構造で、序数の順序を表現できること がわかりました。 ・無いことが1個あるが一番最初なので、これを使って 次の数を前の数と区別することがわかりました。 (ちょっと納得いかないような、でもまあ、ほかにない よね。) 「濃度」については別途確認します。 間隔を理解するため、序数に位相関係をとりいれてみたいです。 質問者(私)のユニバースは自然数、実直線、間隔（正確には距離）からなっているんですな。 回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
形式的な話をすれば… ペアノの公理は、自然数の集合を定義するだけ なので、足し算引き算が必要なら、その上に 別途定義しなければなりません。 a+0=a, a+succ(b)=succ(a)+b で定義するのが、通常です。これにより、 succ(a)=a+succ(0) が証明できて、隣接する二つの自然数 a と succ(a) の差は常に succ(0) であることが判ります。このことを指して、 「自然数は等間隔」と呼べるのではありませんか？
お礼
回答ありがとうございます。 (1)自然数の集合を定義して、 から、 (2)足し算、引き算を定義するときの話です。 定義すれば、差は常にsucc(0)ですね。 それで、succ(0)は1じゃないですか。 隣接する2つの自然数が常に同じ値という定義 と その同じ値は1だ ということの説明がどこかにある気がするんです。 これが知りたいなと。
- ta20000005
- ベストアンサー率46% (30/64)
∀x∀y((x<s(y))←→((x<y)∨(x=y))) が等間隔であるという主張に相当する公理ですね。形式的体系の公理は全然意味の異なる解釈をしても構わないわけではありますが。
お礼
こうですよね？ ∀x∀y( ( (x<s(y))←→(x<y) x,yは0でない ) ∨ ( x=y x,yが0 ) ) 距離、長さを定義できるかなぁっていうのが課題と思ったけれども。数が出てこないです。 s()はどんな計算なんだろう。 s()を+1にすると自然数です。 実数だともうｓ()は次の数としかいいようが 無い。 数式を検索できないのはきびしいです。 一番右の)はいらないような気がする。 どんなxとyでも、 xが yを写像sで写したもの よりちいさい なら xが yよりちいさい または xがyとおんなじ これってyがsで重なったりしてちいさくなっても、もっとxがちいさいなら、 もとのyよりxは小さいかおんなじ ってことだよね。 おんなじってうそだとおもう。 左側がx=3でy=2で3<s(y)=y+2=4だったら 右側がx=3,y=2で3<2で矛盾だよね。 左から右がだめだよね。 だから、s()っていう関数は何でもいいってことじゃないんだ。 どんなxとyでも、xの次(s()という関数)をしてy だったら 1個だけ多いかおんなじか っていみかもしれない。次の数は1個しかないってことかもしれない。 あ、ちがう右矢印の次の「(」もいらないんだ。 ∀x∀y( (x<s(y))←→(x<y) x,yは0でない ∨ (x=y) x,yが0 ) どんなxとyでも、 xよりsの写像したyが大きいかったら、xよりyが大きい または xとyが等しい(両方0) のどちらかしかないぞ！っていういみだ。 ふえてるし。そりゃ、ないよね。 あちがう。増やし方は何でもいいぞってい意味だ。 s()は「次の」って意味だ。 ありがとうございました。
- alice_44
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まず、ジャガイモの個数の話をしているのか、 ジャガイモの重さの話をしているのかくらいは、 頭を整理しましょう。 大きなジャガイモでも、小さなジャガイモでも、 一個は一個です。 どれもが同じ「一個」だから、ジャガイモが 一個増えることの間隔は同じなのです。 ジャガイモの重さの話をしているなら、 それを表す数値は、自然数ではありません。
お礼
回答ありがとうございます。 個数と重さを混同しておりました。 両者は違うものです。 指摘ありがとうございます。 これは、個数についての質問です。 どれも同じ「1個」なのはどうしてか？ という質問になります。 間隔は同じなのはどうしてか？ という質問になります。 「数」と「間隔」が大事なようです。
- 麻野 なぎ（@AsanoNagi）
- ベストアンサー率45% (763/1670)
この問題を考えるためには、ペアノの公理またはそれから導出される言葉だけを使って、「間」や「間隔」を定義する必要があります。 そうでなければ、議論はなにもできません。 数直線は、単なるモデルですから、数字が等間隔に書かれているのは、ただ単に説明が楽だからにすぎません。 まずは、あなたの言う「間隔」を、公理とそれから導出される言葉だけで組み立ててみましょう。
お礼
組み立ててみます。 なにもない なにもないことがある 前後の順番がある ・「なにもない」と「なにもないことがある」には 順番があって、「なにもない」の後に「「なにも ない」ことがある」」 前後の順番ががずーっと続く ・「「なにもないことがある」ことがある」 ・ ・ 名前を付ける ・「なにもない」を0とする ・あるを+1とする。 ・「なにもないがある」を1とする。 ・「「なにもないがある」がある」を2とする。 ・以下続く ・ ・ だから あるが隣り合う自然数の間隔です。 それは1種類しかなくて、みんなおんなじです。 0と1と2と3とそれぞれの自然数の間隔はみんなあるです。 だから自然数は等間隔にならんでいます。 自然数の序数の定義とは？ が私の本当の質問でした。 わかってみると、質問があいまいでした。 「そうでなければ議論はなにもできない」と切って捨てつつも、数直線は単なるモデルであること、「間隔」とはなに？という大きなヒントをいただきました。 ありがとうございます。
- angkor_h
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モノを数えるとき、古代は1からだった…ゼロの概念がなかった。 近代になってゼロの概念を取り入れた。 「自然数」とは、モノの数量(半欠けも一つ)を数えて表現している数値(或いは数列)につけた名前であって、「自然数」と言う言葉から「定義された数」ではないと思うのですが、 えてして、自然科学者の言葉遊びにしか見えませんが、いかがでしょうか。 対数グラフは、小さい数域も大きい数域も、同一比率で観測したい、と言うときに使います。 等間隔グラフは、この一部分だけを対象とした表示方法だと思います。 比率を取ったら自然数にはならない(自然数の並びではない)、と言えないでしょうか。
お礼
回答ありがとうございます。 「自然数」とは・・・ はい。ことばあそびです。とても楽しいです。 それで、序数(順番)と基数(間隔)の区別があるようです。 自然数はいつのまにか序数から基数になってます。 NO.2の方の回答によると、間隔を定義しなければならないようです。たいへんです。 対数グラフ・・・ 比率という言葉はいいですね。 答えに近い気がします。 ありがとうございました。
お礼
ん、すごい！集合を集合の中に入れて、名前を付けるのか。 あ、もっとすごい、空集合を数えるんだ！！！ それって、やっぱり1個しかないよね。 だって、数えるはなにも(1個も)ないし。 数えることがあって、（そのまえに、無いってわかって(それがあるって、数えて、(1キタ━(゜∀゜)━! キタ━━━━(゜∀゜)━━━━!! ))） まあ、あとは、1を適当に使えばいいかと。 でも、わたしは、 0を1個と数えた奴よりも、 集合の中に集合を入れ子にして名前付けること 考えた奴のほうがすごいと思う。