ペアノの公理を使った1+1=2の証明について

質問

ペアノの公理というものを使い、1+1=2の証明が出来ることを知り、
調べてみました。

wikipediaによると、

(1)自然数 0 が存在する。
(2)任意の自然数 a にはその後者 (successor)、suc(a) が存在する（suc(a) は a + 1 の "意味"）。
(3)0 はいかなる自然数の後者でもない（0 より前の自然数は存在しない）。
(4)異なる自然数は異なる後者を持つ：a ≠ b のとき suc(a) ≠ suc(b) となる。
(5)0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。

だそうでうが、

私自身、未熟だからというのも大きな理由であるとは思いますが、
納得できないでいます。

疑問点は
・ここから加法がどのように定義され、なぜ、これが1+1=2の証明になるのか
・(5)の意味と必要性
です(・_・;)

詳しい方、解説していただけるとありがたいです。
よろしくお願いします_(._.)_

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

最初に書いておられるように、
ペアノの公理を「使って」、１＋１＝２の証明ができるのであって、
ペアノの公理「が」、１＋１＝２の証明なのではありません。
そこがこんがらがっているのだと思います。

(1)(2)から、suc(0)が存在し、それは(4)から、0とは別物、
なので、0と別の名前、1、を、suc(0)に付けてやる、

さらに、(2)から、suc(suc(0))が存在し、それは(4)から、suc(0)とは違う、
suc(0)には1という名前を付けたので、suc(suc(0)) = suc(1)、
suc(1) = 0 とすると、(3)に反するので、suc(1)は0とも違うので、
suc(1)には、0,1でない別の名前が必要、これを2とする。

a+1 という演算を、a+1= suc(a) と定義すると、
1+1 = suc(1) = 2、

こういう具合な話になります。

一般的な自然数や加法について、同様のことをするには、
こんな具合に、自然数の次、その次、…、と名前を定義していき、
a+b = suc(suc(suc(…(a)…)…)のように定義して、足し算を
定義していくような話になりますが、無限にある自然数に対して、
有限の文字数で、証明するのは、不可能なので、

(5)を使って、最初で成り立っている、ことを示した上で、別個に、
ある数のとき成り立つなら、次の数でも成り立つことを、一般的に示す、
そうすれば、0で成り立っていれば、1でも成り立つ、
1で成り立っていれば、2でも成り立つ、…、のようにして、
ドミノ倒し式に、どんな自然数でも成り立つよ、ということができる、
こんな具合にして、示すことになります。

要するに、(5)は、数学的帰納法の原理、ということになります。

お礼

WiredLogic　様

回答頂き有難うございます。
頭いいですね(゜∇^d)

頂いた模範解答を、何度も繰り返し読んで
ようやくわかってきました。

私の疑問点を察してくださる
大変満足のいく回答でした！！！