自然数の証明・・・？

質問

自然数a,b,c,について等式a^2+b^2=c^2をみたし、かつa,bは互いに素とする。以下を証明せよ。

１）aが奇数の時、bは偶数且つCは奇数である。
２）aが奇数の時、a+c=2d^2となる自然数dが存在する

１）はaが奇数だからa=2m+1とおいて、・・・ていうさいしょのだんかいで進まなくなりました。

解法のほどをよろしくおねがいします。

回答No.1

dm_ppppp · ベストアンサー

解法その１：対偶を証明する
　　　対偶が真なら元の命題も真
解法その２：背理法
　　　結論を否定してみて、証明してみる。

頑張ってください＞＜

お礼

アリガトウございます。

回答No.5

aquarius_hiro

A No.3 です。

すみません、ちょっと間違ってしまいました。

> a+c=2n+1+2L+1= 2 (n+L+1) = 2d^2 を示すには、
>
> n+L+1 = d^2 を示せばよい。
>
> c^2 - a^2 = b^2
> (c+a)(c-a) = b^2
>
> より、(n+L+1)(L-n) = m^2

ここまで良いです。
その後、修正です。

まず、n+L+1 を素因数分解したときに 2乗の形にまとまる部分ををすべて d^2 とおき、残りの 因数を p とおきます。

n+L+1 = d^2 p

d^2 p (L-n) = m^2
p (L-n) = (m/d)^2 より、
m/d = p t とおける。（tは自然数）

故に、m = ptd

故に、m^2 = p^2 t^2 d^2 = d^2 p (L-n)

故に、L-n = p t^2

ところで、n+L+1 = d^2 p なので、

a = 2n + 1 = (n+L+1) - (L-n) = pd^2-pt^2 = p(d^2-t^2)

ところが、b = 2m = 2ptd なので、
これは p=1 でない限り、a と b が互いに素という仮定に矛盾。

故に、n+L+1 = d^2 と書ける。
故に、a+c = 2d^2 と書ける。

こんどこそあっていると思うのですが。

回答No.4

koko_u_

ちょっとだけ

a と b は互いに素であるから、a と c も互いに素。

a + c と a - c が共通の素因数 p を持つとすると
(a+c)+(a-c) = 2a と (a+c)-(a-c) = 2c も共通の素因数 p をもつ。
よって p = 2、たしかに a と c は今回奇数であるから 2 で割れて、
(a+c)/2 と (a-c)/2 は互いに素

仮定から両者を掛けると平方数 (b/2)^2 となるから、結局 (a+c)/2 と (a-c)/2 が平方数。

。。。しまった。チョーシこいて回答してもた。

回答No.3

aquarius_hiro

こんにちは。

> １）aが奇数の時、bは偶数且つCは奇数である。

aが奇数なら、a^2 は奇数ですね。

もしもbが奇数としたら、b^2は奇数で、
その結果c^2は偶数。
故に、cは偶数、c=2c'とおけますね。（c'は自然数。）
故に、c^2 = 4c'^2 となりは 4の倍数になりますね。
ところで、a=2n+1、b=2m+1とすると、
a^2+b^2=4(n^2+n+m^2+n) + 2 になりますので、
c^2が4の倍数になることと矛盾します。
これは b^2 を奇数としたためです。

故に、aが奇数のときには、bは偶数でcは奇数になります。

> ２）aが奇数の時、a+c=2d^2となる自然数dが存在する

いま、aが奇数のとき、bが偶数、cが奇数が示されたので、
a=2n+1, b=2m, c=2L+1 とおきます。

a+c=2n+1+2L+1= 2 (n+L+1) = 2d^2 を示すには、

n+L+1 = d^2 を示せばよい。

c^2 - a^2 = b^2
(c+a)(c-a) = b^2

より、(n+L+1)(L-n) = m^2

m×m の因子として n+L+1 が含まれなければならない。
もし n+L+1 = d^2 と書けないとすると、
m の因子として n+L+1 が含まれなければならない。

故に、m=(n+L+1)t とおける。（t は自然数）

このとき、

(n+L+1)(L-n) = m^2 = (n+L+1)^2 t^2

故に、
L-n = (n+L+1) t^2 > n+L+1 > L-n
より矛盾。

故に、n+L+1 = d^2 と書ける。

故に、a+c = 2d^2 と書ける。

お礼

ご回答アリガトウございます。
m×m の因子として・・・以下が少しわかりにくいのですが・・・
因子というのは・・？

回答No.2

tinantum

（１）について

a=2m+1（m=0,1,…）と置くと
4(m^2 + m) + 1 + b^2 = c^2　…　(1)
を得ますね．
[I] bが奇数だと仮定してみます．
すると，b=2l+1 (l=0,1…)と同様に置くと，(1)より
4(m^2 + m + l^2 + l) + 2 = c^2
を得ます．左辺は2で割り切れるので，cが奇数では矛盾してしまいます．ところが，cは偶数だとしても，c=2k (k=0,1,…)と置くと,
4(m^2 + m + l^2 + l) + 2 = 4k^2
となって，両辺を２で割って移行すると，
2(k^2 - m^2 - m - l^2 - l) = 1,
ところが，左辺は偶数で，右辺は奇数となって，やはり矛盾します．
背理法より，ｂが偶数であると結論されます．

よってb=2l(l=0,1,…)とおきます．すると(1)より
4(m^2 + m+ l^2) + 1 = c^2
を得ます．ここで，cが偶数であると仮定，すなわち，c=2kと置くと，
4(m^2 + m+ l^2) + 1 = 4k^2
となって，やはり
4(k^2 - m^2 - m- l^2) =1
（左辺偶数，右辺奇数）
で矛盾します．よって背理法よりｃは奇数となります．

お礼

わかりやすいご解答ありがとうございます。