重積分の計算

質問

以下の重積分の問題の計算の仕方がわかりません。
答えは与えられておりますので、途中式を教えていただきたいです。

【問題】

（１）∬D　x/y^2 dxdy　　D：2≦x≦4,　1≦y≦x^2　　　　

（２）∬D　r^2sinθ drdθ　D：0≦θ≦π,　0≦r≦1+cosθ

【解答】

（１）6－log2　　（２）4/3

よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

（１）最初だけ
I=∬[D] x/y^2 dxdy,　　D：{(x,y)|2≦x≦4,1≦y≦x^2}
=∫[2,4] xdx ∫[1,x^2] y^(-2) dy
=∫[2,4] xdx [-y^(-1)][y:1,x^2]
=∫[2,4] x (1-x^(-2)) dx
=∫[2,4] (x-(1/x)) dx

この先はできるでしょうから自力で計算してください。

（２）
I=∬[D] (r^2)sinθ drdθ,　D：{(x,y)|0≦θ≦π,0≦r≦1+cosθ}
=∫[0,π] sinθdθ∫[0,1+cosθ] r^2 dr
=∫[0,π] sinθdθ[r^3/3][r:0,1+cosθ]
=∫[0,π] -(1+cosθ)'*(1+cosθ)^3/3 dθ
=(-1/3)∫[0,π] (1+cosθ)'*(1+cosθ)^3 dθ

合成関数の積分公式を適用すればできるでしょう。
この続きは自力で計算してください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
計算の仕方を理解することができ、無事に解答へ辿り着くことができました。

回答No.1

alice_44

(1) dy dx の順に累次積分する。
(2) dr dθ の順に累次積分する。
どちらも、初等的です。

お礼

ご回答ありがとうございます。