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0の0乗についての自然さ
- 質問文章では、0の0乗を定義する際の自然さについて論じられています。x ≠ 0 のとき x^0 = 1 であることから、0の0乗を 1 と定めることが考えられますが、n が正の整数のとき 0^n = 0 であるため、0の0乗を 0 と定めることも自然であると考えられます。
- 質問者は、関数 f(n) = Σ[k=0,n]C(n,k)(-1)^k を例に取り、n が正の整数の場合は f(n) = 0 かつ f(0) = 1 が成り立つことを指摘しています。そのため、n = 0 のとき 0^n = 0 が自然であり、0^n = 1 は不自然であるという論理があるのではないかと疑問に思っています。
- このようにして、0の0乗については「全てに都合の良い定め方はない」との考え方があります。定義は自由ではありますが、その背後にある理由や根拠について議論がなされるべきであると質問者は考えています。具体的に、なぜ0を定めるのが「自然」なのか、その理由を説明してほしいとしています。
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何が「自然」かは、そもそも主観的な判断なので、 自然/不自然に関して主観的に言い切ることに問題はありません。 質問文中の引用が、ある種の誤解を生むとすれば、 下記のように言い直してみたらどうでしょう？ x ≠ 0 のとき x^0 = 1 であるから、0の0乗を 1 と定めることが私は好きだ。 一方、n が正の整数のとき 0^n = 0 であるから、0の0乗を 0 と定めることが 好きな人もいる。このように、こちらを立てればあちらが立たず、という状況であり、 全ての人にとって都合の良い定め方はない。 もとから、そういう意味の文章なんです。
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- alice_44
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世間で普及度が低い定義は、個人の信念はさておき、 「こう定義するよ」と明示してから使うのが、常識 というか、作法なんだけどな。 数学は、数式も含めて言語的な伝達で成り立つもの だから、他人に伝わるように書かないと意味がない。 「黙って使う」は、マズかろうよ。
お礼
多分、明示せずに使う人は 0^0=1 を前提にしてるんだろうな、と想像できるくらいには普及してますよ。 それが作法に反すると思われるにしても。 > 他人に伝わるように書かないと意味がない。 その心配はないと思います。 回答ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
話題が流れているよ… 0^0 については、優柔不断というよりも、 積極的に「未定義とすべき」だと考える人 が比較的多数で、私個人もその一人。 関数の連続性、正則性は大切なものだから。 一方、0^0=1 を推す人もソコソコあって、 どっちがいいかの議論は、ここのような 数学好きで専門家ではない人が集まる場所 では、度々蒸し返される。 計算機科学者のダイクストラが 0^0=1 を 熱烈に推してたことは、有名な話だ。 いわゆる「プロ」の数学者の間では、 0^0=1 とするのも悪くはないけれど、 黙って使えるほどには普及してないじゃん …あたりが普通の理解ではないかと思う。 0^0=0 を含め、=1 以外の定義を推す人は まずあるまいが。
お礼
> 0^0 については、優柔不断というよりも、 > 積極的に「未定義とすべき」だと考える人 > が比較的多数で、私個人もその一人。 > 関数の連続性、正則性は大切なものだから。 「関数の連続性、正則性は大切なもの」というのはその通りですが、そうでない関数もたくさんある。 私は「指数関数とは指数法則に従う関数のこと」と考えていますから、その結果が連続でなくても構いません。 大切にする順番が間違っていると私は思います。 > いわゆる「プロ」の数学者の間では、 > 0^0=1 とするのも悪くはないけれど、 > 黙って使えるほどには普及してないじゃん > …あたりが普通の理解ではないかと思う。 普及させる一番の方法は、黙って使うことでしょうね。 それに疑問を持つ人が、0^0 を未定義とするのに大した意味がないと分かれば普及すると思います。 好悪の問題にしてしまうのは、多分強力な方法でしょう。 回答ありがとうございました。
- alice_44
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0.999... には、標準的な解釈があって、 広く普及しているから、 0^0 とは状況が違うと思うけどな。 1=0.999... を否定したい人も、それを 可能にする基礎理論も、ちゃんとある けれど、好き/嫌いの多数決から言えば、 1=0.999... が圧倒的に多数派だから。
お礼
つまり、0^0=0 を好きな人が圧倒的に少数派だと思えるなら、0^0=1 でも良いと。 それがあなたの立場ですね？ 0^0 が未定義なのは、優柔不断な数学者が多いからだ。 0^0=1 が理論的に間違いと言えないのならば、多数決で決着をつけるべき。 私は 0^0=1 には利便性が多いので、支持は集まると思います。 回答ありがとうございました。
- Luo47
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難しい質問ですね（^^；） たぶん基礎論に属する事柄だと思うので、今のところ定義する方法がない、と言ったほうが良いような気がします。将来は定義できるかも知れません。 次の簡単な式も、今のところ答えがありません。 Ｘａ＝＋１－１＋１－１＋１－・・・ →Ｘａ＝０あるいは＋１ ？？ Ｘｂ＝－１＋１－１＋１－１＋・・・ →Ｘａ＝０あるいは－１ ？？ 例として、ルベーグ積分の外測度を用いて素朴に考えると、集合列Ａ1，Ａ2，・・・，Ａk,・・・と、Ｂ1，Ｂ2,・・・,Ｂk,・・・について、下極限lim↓ Ａk（うまく表示できないので、ヘンな記号使ってます（_ _；））、および、上極限lim↑ Ｂkがともに、空集合φに収束するとおくと、それぞれの外測度は、 外測度ｍ*（lim↓ Ａk＝φ）＝０ ｍ*（lim↑ Ｂk＝φ）＝０ となり、乗法を集合の共通部分とみなせば、｛Ａk｝∩｛Ｂk｝は、極限移行して外測度は零集合を形成します。 ・・・ここまで記述して合っているのか不安になってきました。ルベーグ積分の解説書には、零集合の様相は謎めいているというようなことが書いてありました。
お礼
> もとから、そういう意味の文章なんです。 その可能性もあるのですね。 考慮してみます。 0^0 が未定義である理由が、「私は 1 が好きだが 0 も好きな人がいる」という程度であることを注釈で示すのも良いかも知れませんね。 だったら多数決で決めようとなり、１と定義する日が来るかもしれませんから。 > 全ての人にとって都合の良い定め方はない。 1 と 0.999... は違うと言ってる人もいますし、それ以外でもそういう問題は存在します。 あなたは、それらすべてを未解決の問題とすべきと考えてる人なんですね？ 私は、あの文章の根拠が数学的にみて希薄であることが示せれば十分ですので、 もし、単なる好き嫌いの問題だと表記を修正できるなら、十分な成果と言えるでしょう。 今回のあなたの提案は、参考にさせていただきます。 回答ありがとうございました。