次の証明問題わかる人教えて下さい。

質問

(1)ｅ^ｘ－１≧ｘ　、等号成立はｘ＝０の時のみ、であることを示せ。

(2)ｘ＞０のとき、ｘ＞log（x＋１）を示せ。

上記２問の証明問題なんですが、わかる方どうか教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

gohtraw · ベストアンサー

f(x)=e^x-1-x
として、f(0)=0であり、
f'(x)=e^x-1
の値はx>0のとき正の値、x<0のとき負の値をとり、x=0のときf'(x)=0なのでもとの不等式は成立し、等号成立はx=0のときとなります。

（２）については（１）の不等式が成立しているので
e^x>=x+1
と変形したのち両辺の自然対数をとると
x>=log(x+1)
であり、等号成立はx=0のときなのでx>0のときは
x>log(x+1)
が成り立ちます。

お礼

本当にありがとうございました。
すごく助かりました。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

1) e^x-x-1 を微分すると e^x-1 これはx < 0 でマイナス x>0でプラス x=0 で 0 だから
　 x=0で最小値 0 をとる。従って e^x-x-1 >= 0

2) 両辺を指数とみれば 1) と同等。

お礼

コンパクトに整ってたので見やすかったです。
本当、ありがとうございました。